LA MIA MATEMATICA

LA MIA MATEMATICA

A) GEOMETRIA

1) Nuovi Teoremi sul Triangolo Rettangolo

2) Risoluzione algebrica del teorema di Pitagora

3) Teoremi geometrici al posto di Equazioni di II grado

4) Teorema sulle proiezioni dei cateti

5) Terne Pitagoriche Primitive e multiple: come ottenerle

6) Terne pitagoriche entro il 1000

B) ARITMETICA

7) Come ottenere i Numeri Primi
8) Dai multipli del 6 ai Numeri Primi
9) Sui Quadrati dei Numeri Interi
10) Sui Cubi dei Numeri Interi
11) Il Mediano e i suoi Simmetrici
12) Radice dei Quadrati dei Numeri da 11 a 99
13) Radice dei Cubi dei Numeri da 11 a 99
14) Moltiplicazioni dirette mediante il grafico
15) Moltiplicazioni per 11 16) Nuovo Sistema Numerico in Lettere
17) I Numeri: dalle Unità ai Miliardi
18) Numeri oltre i Miliardi
19) Nomi dei Multipli e dei Sottomultipli delle Potenze del 10
20) Unità Fondamentali di Misura e loro Simboli 21) Sistema Metrico Decimale
22) Tabella delle potenze del 10 fino all'esponente 1000
_______________________________________________________

A) GEOMETRIA

1) Nuovi teoremi sul triangolo rettangolo

Teorema 1

Il rettangolo costruito sui cateti AB e BC, ossia ABCD, è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BF e il lato del quadrato BH, ossia BFGH. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con l il lato e con d la diagonale del quadrato o bisettrice del triangolo rettangolo, avremo:

ABCD ~ BFGH; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti BC (a) e BA (b) misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto l e la

diagonale d.

Nel triangolo rettangolo ABC, l'area misura 294 cm² e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare la somma dei cateti.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare l'area.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e l'area misura 294 cm². Calcolare il lato del quadrato e la sua diagonale.

Teorema 2
Il rettangolo costruito sulle differenze tra ogni cateto e il lato del quadrato, ossia LRDP, è equivalente al quadrato inscritto nel triangolo, ossia BHLM. Ciò vuol dire che il lato del quadrato è medio proporzionale tra tali differenze AH e CM. Per cui, indicandole con x (la minore) e con y (la maggiore), avremo:

LRDP ~ BHLM; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, x e y misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto.

Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e y misura 16 cm. Calcolare la misura di x.

Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e x misura 9 cm. Calcolare la misura di y.

Teorema 3

Il rettangolo costruito sulla somma dei cateti (BC+ BA) e la somma delle loro differenze (HA+MC) è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa AC. Ciò vuol dire che l’ipotenusa è media proporzionale tra tali somme. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa, con x e y rispettivamente la differenza minore e quella maggiore, avremo:

BC+BA) · (AH+CM) ~ AC · AC; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare l'ipotenusa.

Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma di y + x misura 25 cm. Calcolare la somma dei cateti.

Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma dei cateti misura 49 cm. Calcolare la somma di y + x.

Teorema 4

Il quadrato di ciascun cateto è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la relativa differenza AH o CM. Per cui, indicando con a e b rispettivamente il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa, con x e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

(BC+BA) · MC ~ BC²; da cui:

PROBLEMA

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare le misure di x e di y.

Teorema 5

Ogni cateto è medio proporzionale tra la somma dei cateti e la relativa differenza. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con x e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

(BC+BA) · HA ~ BA²; da cui:

PROBLEMA

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare i cateti.

Teorema 6

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte minore dell’ipotenusa che viene divisa dalla bisettrice, ossia LA. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore dell’ipotenusa, avremo:

BA · AC ~ (BC+BA) · LA; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di v.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre v misura 15 cm. Calcolare il cateto minore.

Teorema 7

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte maggiore dell’ipotenusa che viene divisa dalla bisettrice, ossia LC. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore, avremo:

BC · AC ~ (BC+BA) · LC; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di z.

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre z misura 20 cm. Calcolare il cateto maggiore.

Teorema 8

Il rettangolo costruito sul cateto minore BA e il lato del quadrato BM, ossia ABMR, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e la differenza tra il cateto minore e il lato del quadrato AH, ossia AHPD. Perciò avremo:

ABMR = AHPD; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto minore misura 21 cm e x misura 9 cm. Calcolare il cateto maggiore.

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di x.

Teorema 9

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e il lato del quadrato BH, ossia HBCP, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto minore AB e la differenza tra il cateto maggiore BC e il lato del quadrato BM, ossia CDRM. Perciò avremo:

HBCP = CDRM ; da cui:

PROBLEMI

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto maggiore misura 28 cm e y misura 16 cm. Calcolare il cateto minore.

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di y.

2) RISOLUZIONE ALGEBRICA DEL TEOREMA DI PITAGORA

1) In algebra si è studiato il seguente prodotto notevole:

(a-b)² = a² + b² - 2ab; da cui:

2ab + (a-b)² = a² + b²

dove:

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

2ab= doppio rettangolo costruito sui cateti o doppio prodotto dei cateti;

ab= rettangolo costruito sui cateti o prodotto dei cateti;

(a-b)² = quadrato della differenza dei cateti;

a²+b² = quadrato dell'ipotenusa, in quanto somma dei quadrati dei due cateti;

ma dalla seconda uguaglianza sopra riportata, si deduce che il quadrato dell'ipotenusa è dato anche da:

2ab + (a-b)²

Per cui l'ipotenusa è anche uguale al doppio prodotto dei cateti più il quadrato della loro differenza.

Comunque, geometricamente parlando, possiamo dire che il quadrato dell'ipotenusa è equivalente al doppio rettangolo costruito sui cateti più il quadrato costruito sulla differenza degli stessi.

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa, avremo:

Ma abbiamo anche:

Se abbiamo a=12 e b=5, c sarà uguale a:

2) In algebra abbiamo ancora il seguente prodotto notevole:

a²-b² = (a + b) · (a – b);

dove:

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

(a + b) = somma dei cateti;

(a – b) = differenza dei cateti;

a²+b² = quadrato dell'ipotenusa

Per il teorema di Pitagora, il quadrato di un cateto è uguale al quadrato dell'ipotenusa meno il quadrato dell'altro cateto.

Indicando con c l'ipotenusa, abbiamo:

a² = c² – b²;   b² = c² – a²

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa e applicando il prodotto notevole sopra riportato, avremo:

a² = (c + b) · (c – b);

b² = (c + a) · (c – a);

Per cui il quadrato di un cateto è uguale al prodotto tra la somma dell'ipotenusa più l'altro cateto e la loro differenza.

In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto minore misura 7 cm, il cateto maggiore sarà uguale a:

In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto maggiore misura 7 cm, il cateto minore sarà uguale a:

3) TEOREMI GEOMETRICI AL POSTO DI SISTEMI DI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Nel triangolo rettangolo, alcuni problemi possono essere risolti, ricorrendo a teoremi geometrici ed evitando sistemi di equazione di secondo grado.

Il primo teorema è il seguente:

Il quadrato della somma dei cateti (a+b)² più quello della loro differenza (a-b)² danno il doppio quadrato dell’ipotenusa 2c².

La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:

1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 20 cm e la somma dei cateti misura 28 cm. Calcolare i cateti.

Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.

a = (28 + 4) : 2 = 32 : 2 = 16 cm

Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.

b = (28 - 4) : 2 = 24 : 2 = 12 cm2) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 17 cm e la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare i cateti.

Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.

a = (23 + 7) : 2 = 30 : 2 = 15 cm

Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.

b = (23 - 7) : 2 = 16 : 2 = 8 cm

3) In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti misura 31 cm e la differenza dei cateti misura 17 cm. Calcolare l’ipotenusa.

Il secondo teorema è il seguente:

Il doppio prodotto dei cateti 2ab più il quadrato della loro differenza (a-b)² danno il quadrato dell’ipotenusa.

La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:

1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 5 cm e l’area misura 6 cm². Calcolare i due cateti.

Applicando il teorema 1, avremo la somma dei cateti:

Conoscendosi la loro somma e la loro differenza, come già visto, i cateti saranno:

a = (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4 cm ;

b = (7 - 1) : 2 = 6 : 2 = 3 cm

In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 10 cm, mentre la differenza dei cateti misura 2 cm. Calcolare l’area.

A = (10² - 2²) : 4 = (100 – 4) : 4 = 96 : 4 = 24 cm²

3) In un triangolo rettangolo, l’area misura 30 cm², mentre la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare l’ipotenusa c.

4) TEOREMA SULLE PROIEZIONI DEI CATETI

In un triangolo rettangolo, la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la somma e la differenza dei cateti.

CH² – AH² = (BC + AB) (BC - AB)

Per cui le formule inverse risultano:

BC + AB = (CH² – AH²) : (BC – AB)

BC - AB = (CH² – AH²) : (BC + AB)

CH² = (BC + AB) (BC - AB) + AH²

AH² = CH²- (BC + AB) (BC - AB)

PROBLEMI

1) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 40 cm e 30 cm. Calcolare la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

CH²– AH²= (BC+AB) (BC-AB) = (40+30) (40–30) = 70 ·10 = 700 cm²

2) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la somma dei cateti misura 70 cm. Calcolare i due cateti.

BC-AB =(CH²–AH²) : (BC+AB)=(32²–18²) : (40+30)=(1024–324) : 70=700 : 70=10 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40 cm

AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30 cm

3) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la differenza dei cateti misura 10 cm. Calcolare i due cateti.

BC + AB = (CH² – AH²) : (BC - AB) = (32²– 18²) : (40-30) = (1024 – 324) : 10 = 700 : 10 = 70 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40

AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30

4) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 9 cm. Calcolare la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.

CH²=(BC+AB) (BC-AB)+AH²=(20+15)

(20-15) + 9²= 35 · 5 + 81 = 175+81 = 256; da cui:

radice q. di 256=16 cm

5) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa misura 16 cm. Calcolare la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa.

AH² = (BC+AB) (BC-AB) (BC+AB)

(BC-AB) + AH²= (20+15) (20-15) + 9²= 35 · 5 + 81=

= 175 + 81 = 256; da cui:

radice q. di 256=16 cm

AH²= CH²- (BC+AB) (BC-AB) = 16²- (20+15)

(20-15) = 256-35 · 5 = 256-175 = 81;

da cui:
radice q. di 81=cm 9

5) TERNE PITAGORICHE

Formano una terna pitagorica tre numeri interi, che rappresentano i lati di un triangolo rettangolo e soddisfano il teorema di Pitagora, nel senso che la somma dei quadrati dei due più piccoli è equivalente al quadrato del più grande. Comunque, siccome abbiamo visto che un lato di un triangolo rettangolo, conoscendo gli altri due, può essere trovato anche senza applicare il teorema di Pitagora, è improprio chiamarla terna pitagorica, anziché terna di un triangolo rettangolo.

Gli autori di testi di Geometria, nei problemi con applicazione del teorema di Pitagora, per avere risultati interi, ricorrono spesso a tali terne, che per lo più sono sempre le stesse, come le terne prime: 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 7, 24 e 25; 8, 15 e 17. Da ognuna di esse, si possono poi ricavare infinite terne multiple. Basta moltiplicare i loro tre numeri per uno stesso numero intero, a cominciare dal 2 fino all’infinito. Per questo ogni terna prima ha una infinità di terne multiple.

Esempio:

Dalla terna prima 3, 4 e 5, possiamo avere le terne multiple: 6, 8 e 10; 9, 12 e 15; 12, 16 e 20; 15, 20 e 25; 18, 24 e 30; 21, 28 e 35; 24, 32 e 40; 27, 36 e 45; 30, 40 e 50; 33, 44 e 55; ecc...

Anche le terne prime di un triangolo rettangolo sono infinite e si possono ricavare facilmente, applicando le due seguenti regole:

A) Se si parte da un numero dispari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:

Si ricavano dal cateto minore i due numeri consecutivi, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 3 si ricavano 1 e 2; dal numero 5 si ricavano 2 e 3; dal numero 7 si ricavano 3 e 4. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.

Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto di uno dei due numeri ricavati (conviene sempre raddoppiare il minore) per il doppio dell'altro; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 1.

Nel caso A), si hanno solo terne primitive.

Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:

Se il cateto minore è 3 (1+2), abbiamo:

cateto maggiore: 2 · 2 = 4

ipotenusa: 2 · 2 + 1 = 5

Se il cateto minore è 5 (2+3), abbiamo:

cateto maggiore: 4 · 3 = 12

ipotenusa: 4 · 3 + 1 = 13

Se il cateto minore è 7 (3+4), abbiamo:

cateto maggiore: 6 · 4 = 24

ipotenusa: 6 · 4 +1 = 25

B) Se si parte da un numero pari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:

Si ricavano dal cateto minore i due numeri alternati, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 4 si ricavano 1 e 3; dal numero 6 si ricavano 2 e 4; dal numero 8 si ricavano 3 e 5; dal numero 10 si ricavano 4 e 6; dal numero 12 si ricavano 5 e 7. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.

Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto dei due numeri ricavati; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 2.

Nel caso B), si hanno sia terne primitive, cioè quelle ottenute da 4 e dai suoi multipli, sia terne derivate, cioè tutte le altre.

Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:

Se il cateto minore è 4 (1+3), abbiamo:

cateto maggiore: 1 · 3 = 3

ipotenusa: 1 · 3 + 2 = 5

(Si tratta dell'unico caso in cui 4 risulta cateto maggiore, anziché cateto minore, poiché esso viene a coincidere con la terna ricavata dal numero dispari 3, il quale dà: 3-4-5)

Se il cateto minore è 6 (2+4), abbiamo:

cateto maggiore: 2 · 4 = 8

ipotenusa: 2 · 4 + 2 = 10

(terna multipla di 3-4-5)

Se il cateto minore è 8 (3+5), abbiamo:

cateto maggiore: 3 · 5 = 15

ipotenusa: 3 · 5 + 2 = 17

(terna primitiva)

Se il cateto minore è 10 (4+6), abbiamo:

cateto maggiore: 4 · 6 = 24

ipotenusa: 4 · 6 + 2 = 26

(terna multipla di 5-12-13)

Se il cateto minore è 12 (5+7), abbiamo:

cateto maggiore: 5 · 7 = 35

ipotenusa: 5 · 7 + 2 = 37

(terna primitiva)

Come possiamo osservare, se i due numeri alternati risultano dispari (solo nei multipli di 4), essi danno luogo ad una terna primitiva; se invece risultano pari, danno luogo ad una terna derivata).

C) Se di un triangolo rettangolo si conoscono i due cateti oppure il cateto minore e l'ipotenusa, per sapere se essi formano una terna pitagorica, bisogna procedere, come se stessimo ricavando dal cateto minore quello maggiore o l'ipotenusa. Se il procedimento ci porta allo stesso cateto maggiore noto o all'ipotenusa nota, essi formano una terna pitagorica.

Se i cateti sono 5 e 12, siccome 5 è uguale a 2+3 e il prodotto 4·3 dà 12, i cateti 5 e 12 fanno parte di una terna pitagorica.

Se 5 e 13 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 5 è uguale a 2+3 e il risultato di 4·3+1 dà 13, 5 e 13 fanno parte di una terna pitagorica.

Se i cateti sono 8 e 15, siccome 8 è uguale a 3+5 e il prodotto 3·5 dà 15, i cateti 8 e 15 fanno parte di una terna pitagorica.

Se 8 e 15 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 8 è uguale a 3+5 e il risultato di 3·5+2 dà 17, 8 e 17 fanno parte di una terna pitagorica.

D) Esiste una certa progressione aritmetica nelle terne primitive, siano esse derivate da numeri dispari o da numeri pari multipli di 4. La quale è la seguente:

Il cateto maggiore di una terna primitiva è dato dal cateto minore della terna più la somma dei cateti della precedente terna.

Esempi:

Se abbiamo la terna 3, 4 e 5, che è la terna ottenuta con 3, il cateto maggiore della terna di 5 si ottiene, aggiungendo a 5 la somma dei due cateti della terna di 3:

5+7 (3+4) = 12

Per ottenere l'ipotenusa, si aggiunge sempre una unità al cateto maggiore: 12+1=13.

Se abbiamo la terna 8, 15 e 17, che è la terna ottenuta con 8, il cateto maggiore della terna di 12 si ottiene, aggiungendo a 12 la somma dei cateti della terna di 8:

12+23 (8+15) = 35

Per ottenere l'ipotenusa, si aggiungono sempre due unità al cateto maggiore: 35+2=37.

Una progressione di questo tipo ci permette di ottenere più velocemente le terne primitive di più numeri in successione, senza ricorrere ogni volta alle due regole riportate sopra, dopo che si è ottenuta la prima.

6) TERNE PITAGORICHE ENTRO IL 1000

(Le terne pitagoriche in neretto sono primitive)

3-4-5

5-12-13

6-8-10

7-24-25

8-15-17

9-12-15

9-40-41

10-24-26

11-60-61

12-16-20

12-35-37

13-84-85

14-48-50

15-20-25

15-36-39

15-112-113

16-30-34

16-63-65

17-144-145

18-24-30

18-80-82

19-180-181

20-21-29

20-48-52

20-99-101

21-28-35

21-72-75

21-220-221

22-120-122

23-264-265

24-32-40

24-45-51

24-70-74

24-143-145

25-60-65

25-312-313

26-168-170

27-36-45

27-120-123

27-364-365

28-45-53

28-96-100

28-195-197

29-420-421

30-40-50

30-72-78

30-224-226

31-480-481

32-60-68

32-126-130

32-255-257

33-44-55

33-56-65

33-180-183

33-544-545

34-288-290

35-84-91

35-120-125

35-612-613

36-48-60

36-77-85

36-105-111

36-160-164

36-323-325

37-684-685

38-360-362

39-52-65

39-252-255

39-760-761

40-42-58

40-75-85

40-96-104

40-198-202

40-399-401

41-840-841

42-56-70

42-144-150

42-440-442

43-924-925

44-117-125

44-240-244

44-483-485

45-60-75

45-108-117

45-200-205

45-336-339

46-528-530

48-55-73

48-64-80

48-90-102

48-140-148

48-189-195

48-286-290

48-575-577

49-168-175

50-120-130

50-624-626

51-68-85

51-140-149

51-432-435

52-165-173

52-336-340

52-675-677

54-72-90

54-240-246

54-728-730

55-132-143

55-300-305

56-90-106

56-104-119

56-192-200

56-390-394

56-783-785

57-76-95

57-176-185

57-540-543

58-840-842

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400-430-580

400-561-689

400-750-850

402-536-670

405-540-675

406-792-890

407-524-745

408-506-650

408-544-680

408-765-867

408-819-915

411-548-685

414-448-610

414-552-690

416-612-740

416-780-884

417-556-695

420-441-609

420-513-663

420-560-700

420-637-763

420-675-795

420-832-932

420-851-949

423-564-705

424-795-901

425-660-785

426-568-710

428-455-697

429-460-629

429-572-715

429-700-821

429-728-865

429-880-918

432-495-657

432-576-720

432-665-793

432-810-918

435-580-725

438-584-730

440-462-638

440-525-685

440-825-935

441-588-735

444-592-740

447-596-745

448-720-848

448-840-952

450-544-706

450-600-750

451-780-901

453-604-755

455-504-679

456-608-760

456-650-794

456-855-969

459-612-755

460-483-667

462-616-770

462-784-910

464-777-905

464-870-986

465-620-775

468-595-757

468-624-780

471-628-785

473-864-985

474-632-790

475-840-965

476-480-676

476-765-901

477-636-795

480-504-696

480-550-730

480-640-800

480-693-843

480-728-872

480-836-864

481-600-769

483-644-805

483-720-867

486-648-810

489-652-815

492-656-820

495-660-825

495-840-975

498-664-830

500-525-725

501-668-835

504-550-746

504-672-840

504-703-865

504-810-954

507-676-845

510-680-850

510-792-956

513-684-855

516-688-860

519-492-865

520-546-754

520-576-776

520-765-925

522-696-870

522-760-922

525-700-875

528-605-803

528-630-822

528-704-880

531-708-885

532-624-820

533-756-925

534-712-890

540-567-783

540-629-829

540-720-900

540-819-981

543-724-905

546-728-910

549-732-915

552-736-920

555-572-797

555-740-925

558-744-930

560-588-812

560-684-884

560-702-898

561-748-935

564-752-940

567-756-945

570-760-950

573-764-955

576-660-876

576-768-960

579-772-965

580-609-841

580-741-941

582-776-970

585-648-873

585-780-975

588-784-980

591-788-985

594-608-950

594-792-990

595-600-845

597-796-995

600-630-870

600-800-1000

612-759-975

615-728-953

616-663-905

616-735-959

620-651-899

621-672-915

624-715-949

640-672-928

650-720-970

660-693-957

680-714-986

696-697-985

B) ARITMETICA

7) COME OTTENERE I NUMERI PRIMI
I numeri primi si ottengono mediante due passaggi. Con il primo, avremo tutti i numeri primi contenuti in una certa quantità e i loro multipli ottenuti con i loro quadrati e le loro moltiplicazioni con i numeri primi più grandi. Con il secondo passaggio, ci sarà l’eliminazione di tali prodotti, la quale ci permetterà di avere soltanto i numeri primi.
PRIMO PASSAGGIO
Tale passaggio, come è stato anticipato, ci farà ottenere, nello stesso tempo, tutti i numeri primi e i loro multipli ottenuti come indicato, senza che li si possano distinguere. Gli uni e gli altri si avranno, eseguendo addizioni continue con gli operatori 4 e 2, avendo come partenza l’unità, ossia 1. Via via vanno anche eliminati i multipli di 5.

Così fino a 97, escluso il numero primo 3, avremo:

1+4=5+2=7+4=11+2=13+4=17+2=19+4=23+2=25+4=29+2=31+4=35+2=37+4=41+2=43+4=47+2=49+4=53+2=55+4=59+2=61+4=65+2=67+4=71+2=73+4=77+2=79+4=83+2=85+4=89+2=91+4=95+2=97.

Invece, da 97 a 200, avremo:

97+4=101+2=103+4=107+2=109+4=113+2=115+4=119+2=121+4=125+2=127+4=131+2=133+4=137+2=139+4=143+2=145+4=149+2=151+4=155+2=157+4=161+2=163+4=167+2=169+4=173+2=175+4=179+2=181+4=185+2=187+4=191+2=193+4=197+2=199.

SECONDO PASSAGGIO

Ottenuti i seguenti numeri, con l’eliminazione dei multipli del 5: 5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-49-53-59-61-67-71-73-77-79-83-89-91-97-101-103-107-109-113-119 -121 -127-131-133 -137-139 -143 -149-151-157-161 -163-167-169 -173-179-181-187 -191-193-197-199, si va alla ricerca dei numeri primi. In tale serie di numeri, una volta eliminati i multipli del 7 (7x7=49, 7x11= 77, 7x13=91, 7x17=119, 7x19=133, 7x23=161), i multipli dell’11 (11x11=121, 11x13=143, 11x17=187), i multipli del 13 (13x13=169), restano solo i numeri primi.

Continuando con tale metodo, si ottiene la seguente prima tabella parziale, dove risultano i numeri primi (in neretto) e i loro multipli, come fatto presente:
2. 3. 7. 11. 13. 17. 19. 23. 29. 31. 37. 41. 43. 47. 49 53. 59. 61. 67. 71. 73. 77 79. 83. 89. 91 97. 101. 103. 107. 109. 113. 119 121 127. 131. 133 137. 139. 143 149. 151. 157. 161 163. 167. 169 173. 179. 181. 187 191. 193. 197. 199. 203 209 211. 217 221 223. 227. 229. 233. 239. 241. 247 251. 253 257. 259 263. 269. 271. 277. 281. 283. 287 289 293. 299 301 307. 311. 313. 317. 319 323 329 331. 337. 341 343 347. 349. 353. 359. 361 367. 371 373. 377 379. 383. 389. 391 397. 401. 403 407 409. 413 419. 421. 427 431. 433. 437 439. 443. 449. 451 457. 461. 463. 467. 469 473 479. 481 487. 491. 493 497 499. 503. 509. 511 517 521. 523. 527 529 533 539 541. 547. 551 553 557. 559 563. 569. 571. 577. 581 583 587. 589 593. 599. 601. 607. 611 613. 617. 619. 623 629 631. 637 641. 643. 647. 649 653. 659. 661. 667 671 673. 677. 679 683. 701. 703 707 709. 713 719. 721 727. 731 733. 737 739. 743. 749 751. 757. 761. 763 767 769. 773. 779 781 787. 791 793 797. 799 689 691. 697 803 809. 811. 817 821. 823. 827. 829. 833 839. 841 847 851 853. 857. 859. 863. 869 871 877. 881. 883. 887. 889 893 899 901 907. 911. 913 917 919. 923 929. 931 937. 941. 943 947. 949 953. 959 961 967. 971. 973 977. 979 983. 989 991. 997. 1001 1003 1007 1009. 1013. 1019. 1021. 1027 1031. 1033. 1037 1039. 1043 1049. 1051. 1057 1061. 1063. 1067 1069. 1073 1079 1081 1087. 1091. 1093. 1097. 1099 1103. 1109. 1111 1117. 1121 1123. 1127 1129. 1133 1139 1141 1147 1151. 1153. 1157 1159 1163. 1169 1171. 1177 1181. 1183 1187. 1189 1193. 1199 1201. 1207 1211 1213. 1217. 1219 1223. 1229. 1231. 1237. 1241 1243 1247 1249. 1253 1259. 1261 1267 1271 1273 1277. 1279. 1283. 1289. 1291. 1297. 1301. 1303. 1307. 1309 1313 1319. 1321. 1327. 1331 1333 1337 1339 1343 1349 1351 1357 1361. 1363 1367. 1369 1373. 1379 1381. 1387 1391 1393 1397 1399. 1403 1409. 1411 1417 1421 1423. 1427. 1429. 1433. 1439. 1441 1447. 1451. 1453. 1457 1459. 1463 1469 1471. 1477 1481. 1483. 1487. 1489. 1493. 1499. 1501 1507 1511. 1513 1517 1519 1523. 1529 1531. 1537 1541 1543. 1547 1549. 1553. 1559. 1561 1567. 1571. 1573 1577 1579. 1583. 1589 1591 1597. 1601. 1603 1607. 1609. 1613. 1619. 1621. 1627. 1631 1633 1637. 1639 1643 1649 1651 1657. 1661 1663. 1667. 1669. 1673 1679 1681 1687 1691 1693. 1697. 1699. 1703 1709. 1711 1717 1721. 1723. 1727 1729 1733. 1739 1741. 1747. 1751 1753. 1757 1759. 1763 1769 1771 1777. 1781 1783. 1787. 1789. 1793 1799 1801. 1807 1811. 1813 1817 1819 1823. 1829 1831. 1837 1841 1843 1847. 1849 1853 1859 1861. 1867. 1871. 1873. 1877. 1879. 1883 1889. 1891 1897 1901. 1903 1907. 1909 1913. 1919 1921 1927 1931. 1933. 1937 1939 1943 1949. 1951. 1957 1961 1963 1967 1969 1973. 1979. 1981 1987. 1991 1993 1997. 1999. 2003. 2009 2011. 2017. 2021 2023 2027. 2029. 2033 2039. 2041 2047 2051 2053. 2057 2059 2063. 2069. 2071 2077 2081. 2083. 2087. 2089. 2093 2099. 2101 2107 2111. 2113. 2117 2119 2123 2129. 2131. 2137. 2141. 2143. 2147 2149 2153. 2159 2161. 2167 2171 2173 2177 2179. 2183 2189 2191 2197 2201 2203. 2207. 2209 2213. 2219 2221. 2227 2231 2233 2237. 2239. 2243. 2249 2251. 2257 2261 2263 2267. 2269. 2273. 2279 2281. 2287. 2291 2293. 2297. 2299 2303 2309 2311. 2317 2321 2323 2327 2329 2333. 2339. 2341. 2347. 2351. 2353 2357. 2359 2363 2369 2371. 2377. 2381. 2383. 2387 2389. 2393. 2399. 2401 2407 2411. 2413 2417. 2419 2423. 2429 2431 2437. 2441. 2443 2447. 2449 2453 2459. 2461 2467 2471 2473. 2477. 2479 2483 2489 2491 2497 2501 2503. 2507 2509 2513 2519 2521. 2527 2531. 2533 2537 2539. 2543. 2549. 2551. 2557. 2561 2563 2567 2569 2573 2579. 2581 2587 2591. 2593. 2597 2599 2603 2609. 2611 2617. 2621. 2623 2627 2629 2633. 2639 2641 2647. 2651 2653 2657. 2659. 2663. 2669 2671. 2677. 2681 2683. 2687. 2689. 2693. 2699. 2701 2707. 2711. 2713. 2717 2719. 2723 2729. 2731. 2737 2741. 2743 2747 2749. 2753. 2759 2761 2767. 2771 2773 2777. 2779 2783 2789. 2791. 2797. 2801. 2803. 2807 2809 2813 2819. 2821 2827 2831 2833. 2837. 2839 2843. 2849 2851. 2857. 2861. 2863 2867 2869 2873 2879. 2881 2887. 2891 2893 2897. 2899 2903. 2909. 2911 2917. 2921 2923 2927. 2929 2933 2939. 2941 2947 2951 2953. 2957. 2959 2963. 2969. 2971. 2977 2981 2983 2987 2989 2993 2999. 3001. 3007 3011. 3013 3017 3019. 3023. 3029 3031 3037. 3041. 3043 3047 3049. 3053 3059 3061. 3067. 3071 3073 3077 3079. 3083. 3089. 3091 3097 3101 3103 3107 3109. 3113 3119. 3121. 3127 3131 3133 3137. 3139 3143 3149 3151 3157 3161 3163. 3167. 3169. 3173 3179 3181. 3187. 3191. 3193 3197 3199 3203. 3209. 3211 3217. 3221. 3223 3227 3229. 3233 3239 3241 3247 3251. 3253. 3257. 3259. 3263 3269 3271. 3277 3281 3283 3287 3289 3293 3299. 3301. 3307. 3311 3313. 3317 3319. 3323. 3329. 3331. 3337 3341 3343. 3347. 3349 3353 3359. 3361. 3367 3371. 3373. 3377 3379 3383 3389. 3391. 3397 3401 3403 3407. 3409 3413. 3419 3421 3427 3431 3433. 3437 3439 3443 3449. 3451 3457. 3461. 3463. 3467. 3469. 3473 3479 3481 3487 3491. 3493 3497 3499. 3503 3509 3511. 3517. 3521 3523 3527. 3529. 3533. 3539. 3541. 3547. 3551 3553 3557. 3559. 3563 3569 3571. 3577 3581 3583. 3587 3589 3593. 3599 3601 3607. 3611 3613. 3617. 3619 3623. 3629 3631. 3637. 3641 3643. 3647 3649 3653 3659. 3661 3667 3671. 3673. 3677. 3679 3683 3689 3691. 3697. 3701. 3703 3707 3709. 3713 3719. 3721 3727. 3731 3733. 3737 3739. 3743 3749 3751 3757 3761. 3763 3767. 3769. 3773 3779. 3781 3787 3791 3793. 3797. 3799 3803. 3809 3811 3817 3821. 3823. 3827 3829 3833. 3839 3841 3847. 3851. 3853. 3857 3859 3863. 3869 3871 3877. 3881. 3883 3887 3889. 3893 3899 3901 3907. 3911. 3913 3917. 3919. 3923. 3929. 3931. 3937 3941 3943. 3947. 3949 3953 3959 3961 3967. 3971 3973 3977 3979 3983 3989. 3991 3997 4001. 4003. 4007. 4009 4013. 4019. 4021. 4027. 4031 4033 4037 4039 4043 4049. 4051. 4057. 4061 4063 4067 4069 4073. 4079. 4081 4087 4091. 4093. 4097 4099. 4103 4109 4111. 4117 4121 4123 4127. 4129. 4133. 4139. 4141 4147 4151 4153. 4157. 4159. 4163 4169 4171 4177. 4181 4183 4187 4189 4193 4199 4201 4207 4211 4213 4217. 4219. 4223 4229. 4231. 4237 4241. 4243. 4247 4249 4253. 4259. 4261 4267 4271. 4273. 4277 4279 4283. 4289. 4291 4297. 4301 4303 4307 4309 4313 4319 4321 4327. 4331 4333 4337. 4339. 4343 4349. 4351 4357. 4361 4363. 4367 4369 4373. 4379 4381 4387 4391. 4393 4397. 4399 4403 4409. 4411 4417 4421. 4423. 4427 4429 4433 4439 4441. 4447. 4451. 4453 4457. 4459 4463. 4469 4471 4477 4481. 4483. 4487 4489 4493. 4499 4501 4507. 4511 4513. 4517. 4519. 4523. 4529 4531 4537 4541 4543 4547. 4549. 4553 4559 4561. 4567. 4571 4573 4577 4579 4583. 4589 4591. 4597. 4601 4603. 4607 4609 4613 4619 4621. 4627 4631 4633 4637. 4639. 4643. 4649. 4651. 4657. 4661 4663. 4667 4669 4673. 4679. 4681 4687 4691. 4693 4697 4699 4703. 4709 4711 4717 4721. 4723. 4727 4729. 4733. 4739 4741 4747 4751. 4753 4757 4759. 4763 4769 4771 4777 4781 4783. 4787. 4789. 4793. 4799.

SECONDO PASSAGGIO

Con il secondo passaggio, si va alla ricerca dei multipli dei numeri primi ed eliminarli dalla tabella.
Così, per avere i numeri primi entro il 100, bisogna eliminare i loro multipli, a partire dal quadrato di 7, ossia 49. Gli altri due multipli di 7 compresi nel 101 sono 7x11=77 e 7x13=91. Perciò, a parte 49, 77 e 91, tutti gli altri numeri sono primi. Infatti, se volessimo continuare con il numero primo che segue il 7, ossia 11, il suo quadrato risulterebbe maggiore di 101.
Per avere i numeri primi entro il 211, prima eliminiamo i prodotti del 7 con i numeri primi successivi, che sono 7x7=49, 7x11=77, 7x13=91, 7x17=119, 7x19=133, 7x23=161, 7x29=203; dopo eliminiamo i multipli di 11, che sono 11x11=121, 11x13=143, 11x17=187, 11x19=209; infine eliminiamo i multipli del 13, che sono 13x13=169. Effettuate tali eliminazioni, i numeri che restano entro il 211 sono tutti numeri primi.
Questo è il solo modo per ottenere i numeri primi dall’infinita serie dei numeri interi.

8) DAI MULTIPLI DEL 6 AI NUMERI PRIMI

a) Un numero primo risulta sempre un multiplo di 6, a cui è stata aggiunta o sottratta l’unità. Esso può (ma non obbligatoriamente) derivare dalla sottrazione o dall’aggiunta dell’unità, oppure da entrambe le operazioni. In quest’ultimo caso, i due numeri primi ottenuti sono detti gemelli. Ne deriva che un numero dispari, che non termina con 5, può essere primo, se risulta un multiplo di 6, dopo aver aggiunto o sottratto ad esso l’unità, oppure in entrambi i casi.

Ad esempio, se prendiamo 24, che è un multiplo di 6, esso ci dà un numero primo, solo se sottraiamo ad esso l’unità, ottenendo 23. Se invece aggiungiamo ad esso l’unità, otteniamo il numero composto 25.

Se invece prendiamo 18, che è anche un multiplo di 6, aggiungendo e sottraendo ad esso l’unità, otteniamo rispettivamente i due numeri primi 17 e 19, che sono detti gemelli. Infatti, due numeri primi aventi per differenza 2 prendono il nome di gemelli.

I multipli del 6, nei loro rapporti con i numeri primi, risultano di quattro tipi:

1) Multipli che non danno alcun numero primo, sia che si aggiunga sia che si sottragga ad essi l’unità:

120-1=119; 120+1=121. (119 e 121 non sono numeri primi).

2) Multipli che danno un numero primo, solo se si aggiunge ad essi l’unità:

36+1=37 (37 è numero primo).

3) Multipli che danno un numero primo, solo se si sottrae ad essi l’unità:

54-1=53 (53 è numero primo).

4) Multipli che danno un numero primo, sia che si aggiunga sia che si sottragga ad essi l’unità:

132+1=133; 132-1=131 (133 e 131 sono numeri primi)

Ci sono pure tre tipi di coppie di numeri primi gemelli:

1) Coppia, nella quale il numero primo minore termina con 1 e il maggiore termina con 3, come le seguenti:

11-13; 41-43; 71-73; 101-103; 191-193; 281-283.
2) Coppia, nella quale il numero primo minore termina con 7 e il minore termina con 9, come le seguenti:

17-19; 107-109; 137-139; 197-199; 227-229; 347-349.

3) Coppia, nella quale il numero primo minore termina con 9 e il minore termina con 1, come le seguenti:

29-31; 59-61; 149-151; 239-241; 269-271; 599-601.

Risulta divisibile per 6 anche la somma di due numeri primi ottenuti l’uno con +1 e l’altro con -1.

73 (72+1) + 107 (108-1) = 180 (divisibile per 6).

Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con +1, sottraendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.

151 (150+1) + 277 (276+1) = 428 - 2 = 426 (divisibile per 6).

Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con -1, aggiungendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.

269 (270-1) + 605 (606-1) = 874 + 2 = 876 (divisibile per 6)

b) Se un quadrato è divisibile solo per sé stesso e per la sua radice, quest’ultima è un numero primo.

49 è divisibile solo per sé stesso e per 7, che è la sua radice. Per cui 7 è un numero primo.

Allora è vero anche che il quadrato di un numero primo è il suo primo multiplo avente come fattori la sua radice.

Il quadrato di 7 è 49, i cui fattori sono 7x7.

c) Se dividiamo un numero primo per 6, avremo come resto 1 oppure 5, a seconda se è stata aggiunta oppure tolta l’unità.

31 : 6 = 5 col resto di 1 (Infatti al multiplo 30 è stata sommata l’unità, facendolo diventare 31, che è un numero primo).

29 : 6 = 4 col resto di 5 (Infatti, al multiplo 30 è stata sottratta l’unità, facendolo diventare 29, che è un numero primo).

d) Un numero primo è anche la somma di un multiplo di 6 più un numero primo più piccolo di quello che si vuole ottenere. Quando il multiplo di 6 termina con 0, ad esso non si può sommare il numero primo 5, poiché ne verrebbe fuori un multiplo di 5. A volte lo stesso multiplo di 6, con i vari numeri primi aggiunti, dà luogo ad altrettanti numeri primi. Come pure due addendi diversi, sommati, possono dare lo stesso numero primo.

6 + 11 = 17 (11 e 17 sono numeri primi);
12 + 5 = 17 (5 e 17 sono numeri primi);
6 + 23 = 29 (23 e 29 sono numeri primi);
12 + 19 = 31 (19 e 31 sono numeri primi);
18 + 19 = 37 (19 e 37 sono numeri primi);
42 + 59 = 101 (59 e 101 sono numeri primi); ecc…

e) Se si vuole sapere quale multiplo di 6 ha dato origine al numero primo, bisogna prima renderlo multiplo di 6 (aggiungendo o sottraendo ad esso l’unità), come di seguito:

Se abbiamo il numero primo 56443 e vogliamo conoscere il multiplo di 6 che gli ha dato origine, prima eseguiamo le due operazioni e sommiamo le cifre dei due risultati [56443+1=56444 (23)], [56443-1=56442 (21)]. Essendo 21 divisibile per 3, 56442 risulta divisibile per 6. Per cui il multiplo di 6 che ha dato origine al numero primo 56443 è 56442.
Nel caso di due numeri primi gemelli, come 34757 e 34759, il multiplo di 6, che ha dato origine ad entrambi, è il loro numero intermedio, ossia 34758.

Se la somma di due numeri primi è divisibile per 6, l’uno è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata tolta l’unità e l’altro è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata aggiunta l’unità, come nei seguenti:

317 + 643 = 960 : 6 = 160 (318-1 = 317 / 642+1 = 643)

Nei numeri primi gemelli avviene la stessa cosa. Essi però sono stati ottenuti dallo stesso multiplo di 6.

f) Ogni numero primo ha infiniti multipli, i quali si possono dividere in due gruppi: a) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri non primi, come 9, 10, 12, che sono infiniti; b) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri primi, come 11, 13, 17, che sono pure infiniti. Questo secondo gruppo dà origine a dei prodotti aventi per fattori due numeri primi. Così 91, che è un multiplo di 7, ha per fattori 7 e 13. Un multiplo di questo tipo possiamo considerarlo multiplo bifattoriale primo; invece 12, che è un multiplo di 3 ed ha per fattori 3 e 4, è da considerarsi un multiplo bifattoriale non primo. Se nel primo caso il multiplo 91 può avere una sola coppia di fattori, cioè 7 e 13; nel secondo caso, il multiplo 12 può avere due coppie di fattori, ossia 3 e 4, 2 e 6. h) I numeri primi terminano sempre con le cifre 1, 3, 7 e 9. Ora vediamo come si ottengono i numeri primi terminanti con tali cifre.

1)I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi una unità. Tali numeri primi terminano tutti con la cifra 1. Esempi:

6 x 32 = 192 – 1 = 191; 6 x 47 = 282 – 1 = 281 (191 e 281 sono numeri primi).

Anche i multipli del 6 ottenuti con un multiplo del 5 e aumentati di una unità danno luogo a numeri primi terminanti con 1. Esempi:

6 x 5 = 30 + 1 = 31 / 6 x 30 = 180 + 1 = 181 (31 e 181 sono numeri primi)

Comunque, per avere i numeri primi in ordine crescente, bisogna procedere alternativamente prima con il 2, poi con il 5 e infine con il 7.

2 x 6 = 12 – 1 = 11 / 5 x 6 = 30 + 1 = 31 / 7x6=42-1=41 (Infatti, i numeri 11, 31 e 41 sono tre numeri primi in ordine crescente).

2) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 4 e con 9 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l’unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 3. Esempi:

6 x 14 = 84 – 1 = 83 / 6 x 29 = 174 – 1 = 173

Anche i multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. Anch’essi terminano tutti con la cifra 3. Esempi:

12 x 6 = 72 + 1 = 73 / 17 x 6 = 102 + 1 = 103 (73 e 103 sono numeri primi)

3) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 1 e con 6 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. Tali numeri primi terminano con la cifra 7. Esempi:

6 x 6 = 36 + 1 = 37 / 6 x 11 = 66 + 1 = 67 (37 e 67 sono numeri primi)

Anche i multipli del 6 ottenuti con numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l’unità. Anch’essi terminano con la cifra 7. Esempi:

6 x 23 = 138 – 1 = 137; 6 x 58 = 348 – 1=347 (Anche i numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 7)

4) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 9. Esempi:

6 x 13 = 78 + 1 = 79 / 6 x 38 = 228 + 1 = 229 (79 e 229 sono numeri primi)

Anche i multipli del 6 ottenuti con i multipli del 5, diminuiti di una unità, possono diventare numeri primi. Anch’essi terminano tutti con la cifra 9. Esempi:

5 x 6 = 30 – 1 = 29; 30 x 6 = 180 – 1 = 179 (29 e 179 sono numeri primi)

9) SUI QUADRATI DEI NUMERI INTERI

Esiste una correlazione tra i quadrati in successione e i numeri dispari, la quale è la seguente: partendo da 0, tutti i quadrati successivi si ottengono, aggiungendo ad esso i vari numeri dispari in successione.
Il quadrato di un numero n è uguale alla somma dei primi n numeri dispari. Ossia:

il quadrato di 3 è uguale alla somma dei primi 3 numeri dispari: 1+3+5=9;

il quadrato di 5 è uguale alla somma dei primi 5 numeri dispari: 1+3+5+7+9=25;

il quadrato di 9 è uguale alla somma dei primi 9 numeri dispari: 1+3+5+7+9+11+13+15+17=81.

Se bisogna trovare i quadrati di più numeri consecutivi, basta aggiungere ogni volta al quadrato precedente la loro somma, come qui appresso.
Volendo trovare i quadrati dei numeri da 1 a 10, abbiamo:

12 = 1;
22 =1 + 3 (2 + 1) = 4;
32 = 4 + 5 (2 + 3) = 9;
42 = 9 + 7 (3 + 4) = 16;
52 = 16 + 9 (4 + 5) = 25; ecc…

- Conoscendosi n e il suo quadrato, è semplice conoscere qual è stato il numero dispari più grande della serie di numeri dispari, la cui somma ha dato luogo al quadrato. Infatti, esso si ottiene, moltiplicando n per 2 e sottraendo al prodotto 1.

Se sappiamo che il quadrato di 40 è 1600, sappiamo anche che è stata la somma dei primi 40 numeri dispari a dar luogo a 1600, il più grande dei quali è stato: 40 · 2 – 1 = 79. Per cui, se volessimo trovare il quadrato di 41, basterebbe aggiungere a 1600 il successivo numero dispari, che è 81, (1600 + 81 = 1681). Se invece volessimo trovare il quadrato di 39, basterebbe sottrarre da 1600 il numero dispari più grande, che è 79, (1600 – 79 = 1521).

- Da ciò possiamo dedurre che, tutte le volte che dobbiamo trovare il quadrato dei numeri come 51 e 49, ci conviene trovare prima il quadrato di 50 (2500). Dopo aggiungiamo 101 (2601) per trovare il quadrato di 51 o sottraiamo 99 (2401) per trovare il quadrato di 49.

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri dispari, a partire dal quadrato 1, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli, come appresso:

1 (quadrato di 1) + 8 = 9 (quadrato di 3) + 16 = 25 (quadrato di 5) + 24 = 49 (quadrato di 7) + 32 = 81 (quadrato di 9) + 40 = 121 (quadrato di 11) + 48 = 169 (quadrato di 13); ecc…

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri pari, a partire dal quadrato di 2, ossia 4, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli aumentati di 4, come appresso:

4 (quadrato di 2) + 12 (8 + 4) = 16 (quadrato di 4) + 20 (16 + 4) = 36 (quadrato di 6) + 28 (24 + 4) = 64 (quadrato di 8) + 36 (32 + 4) = 100 (quadrato di 10) + 44 (40 + 4) = 144 (quadrato di 12) + 52 (48 + 4) = 196 (quadrato di 14); ecc…

b) Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di due cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.
Se a e b sono rispettivamente le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n2 =a2 · 100 + 2ab · 10 + b2

Così, dovendo trovare il quadrato di 56, applicando la formula, avremo:

562 =(25 · 100) + (2 · 5 · 6 · 10) + 62 = 2500 + 600 + 36 = 3136

Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di tre cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.

Se a, b e c sono rispettivamente le centinaia, le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n2 = (a2 · 10000) + (2ab · 1000) + (2ac · 100) + (b2 · 100) + (2bc · 10) + c2

Così, dovendo trovare il quadrato di 125, applicando la formula, avremo:

125 = (12 · 10000) + (2 · 1 · 2 · 1000) + (2 · 1 · 5 · 100) + (4 · 100) + (2 · 2 · 5 · 10) + 25 = 10.000 + 4000 + 1000 + 400 + 200 + 25 = 15.625

c) Se si conoscono il prodotto di due numeri ab (a il maggiore e b il minore), i loro quadrati a2 e b2, la loro differenza (a-b) oppure la loro somma (a+b), si hanno come formule:

- la loro somma è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro differenza: a + b = (a2 - b2) : (a-b);

- la loro differenza è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro somma: a – b = (a2 - b2) : (a + b);

- il numero maggiore è dato dalla differenza tra il suo quadrato e il loro prodotto diviso la loro differenza: a = a2 – ab : (a - b);

- il numero minore è dato dalla differenza tra il loro prodotto e il suo quadrato diviso la loro differenza: b = ab - b2 : (a - b).
In pratica, avremo:

Se il prodotto dei due numeri consecutivi a e b è 12 e i loro rispettivi quadrati sono 16 e 9, nonché si conosce la loro differenza 1 oppure la loro somma 7, applicando le formule, avremo:

a + b = (a2 - b2) : (a - b) = (16 - 9) : 1 = 7 : 1 = 7;
a – b = (a2 - b2) : (a - b) = (16 - 9) : 7 = 7 : 7 = 1;
a = a2 - ab : (a - b) = 16 – 12 = 4;
b = ab - b2 : (a - b) = (12 - 9) : 1 = 3 : 1 = 3

Inoltre, il prodotto dei due numeri è medio proporzionale tra i due quadrati: a2 : ab = ab : b2.
Perciò avremo:16 : 12 = 12 : 9.

Se la differenza fra due numeri consecutivi è sempre 1, la differenza fra i loro quadrati è la loro somma. Prendendo ad esempio la coppia di numeri 6 e 5, la loro differenza è 1 (6 – 5 = 1); mentre la differenza dei loro quadrati è 11 (6 + 5 = 11). Infatti, 36 – 25 = 11.

10) SUI CUBI DEI NUMERI INTERI

Anche i cubi dei numeri, come i quadrati, sono dati dalla somma di più numeri dispari, ma in modo diverso. Infatti, ciascuno si ottiene come segue:

1) Procedimento con i numeri interi dispari

Volendo conoscere il cubo di 3, esso è dato da tre numeri dispari consecutivi, che si ottengono nel modo seguente: il primo è il quadrato di 3, ossia 9; gli altri due sono 7 (il precedente) e 11, (il successivo). Perciò avremo: 33=7+9+11=27.

Volendo conoscere il cubo di 5, esso è dato da cinque numeri dispari consecutivi, che si ottengono nel modo seguente: il primo è il quadrato di 5, ossia 25; gli altri quattro sono 21 e 23 (i precedenti), nonché 27 e 29 (i successivi). Perciò avremo: 55=21+23+25+27+29=125.

1) Procedimento con i numeri interi pari

Volendo conoscere il cubo di 2, esso è dato da due numeri dispari consecutivi, che si ottengono nel modo seguente: il primo è il precedente del quadrato di 2 (che è 4), ossia 3; il secondo è il successivo del quadrato di 2, che è 5. Perciò avremo: 23=3+5=8

Volendo conoscere il cubo di 4, esso è dato da quattro numeri dispari consecutivi, che si ottengono nel modo seguente: i primi due sono i precedenti del quadrato di 4 (che è 16), ossia 13 e 15; mente gli altri due sono i successivi del quadrato di 4, ossia 17 e 19. Perciò avremo: 43=13+15+17+19=64

11) IL MEDIANO E I SUOI SIMMETRICI

Dato un numero n, che chiameremo mediano, le coppie di numeri formati con l’aggiunta e la sottrazione di 1, oppure di 2, ecc… sono detti suoi simmetrici. Perciò i simmetrici di 7 sono 7 + 1 = 8 e 7 – 1 = 6. Dei due simmetrici, il primo è detto maggiore e il secondo è detto minore. Le coppie di simmetrici di un mediano non sono illimitate, poiché il loro numero è uguale al mediano diminuito di una unità. Ossia, se il mediano è 15, le coppie di simmetrici ad esso appartenenti sono in tutto 14, ossia 14 e 16, 13 e 17, 12 e 18, 11 e 19, ecc...

Adesso possiamo dire che il quadrato di un mediano è dato anche dalla somma del prodotto dei suoi simmetrici più il quadrato della loro semidifferenza. Perciò avremo:

4² = 5 · 3 + 1² = 15 + 1 = 16 (Qui i simmetrici sono stati ottenuti con +1 e -1)

7²= 9 · 5 + 2² = 45 + 4 = 49 (Qui i simmetrici sono stati ottenuti con +2 e -2)

Se si conoscono due numeri simmetrici, il loro mediano è uguale alla loro semisomma. Perciò, se abbiamo i simmetrici 10 e 8, il loro mediano è:

(10 + 8) : 2 = 18 : 2 = 9

In geometria, se il mediano rappresenta il lato di un quadrato, i suoi simmetrici rappresentano le dimensioni di un rettangolo. In tal caso, diciamo che il quadrato e il rettangolo sono in relazione fra loro. Per cui, se un quadrato e un rettangolo sono in relazione fra loro, il lato del quadrato va considerato mediano e le dimensioni del rettangolo vanno considerate suoi simmetrici. La qual cosa può facilitarci la soluzione di alcuni problemi geometrici.

Un quadrato e un rettangolo, che ha per dimesioni cm 7 e cm 9, sono in relazione fra loro. Trovare l’area del quadrato.

Essendo 7 e 9 simmetrici, il loro mediano è il lato del quadrato. Perciò:

(7 + 9) : 2 = 16 : 2 = cm 8; da cui:

A = 8² = cm² 64

Un rettangolo e un quadrato, che ha per lato cm 13, sono in relazione fra loro. Trovare l’area del rettangolo, la cui dimensione minore misura cm 11.

Se 13 è il mediano e 11 è il simmetrico minore, la dimensione maggiore del rettangolo è cm 15. Allora l’area del rettangolo sarà uguale a:

A = 15 · 11 = cm² 165

12) RADICE DEI QUADRATI DEI NUMERI DA 11 A 99

Per trovare la radice del quadrato di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che, se il quadrato termina con 1, come unità della radice si avrà 1 o 9, se il quadrato termina con 4, come unità della radice si avrà 2 o 8; se il quadrato termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6; se il quadrato termina con 5, come unità della radice si avrà 5. Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.

1) si staccano nel quadrato due cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime due, come appresso: 256 diventa 2'56; 1156 diventa 11'56.

2) si vede qual è il quadrato più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 2 e in 11. Così conosceremo anche le decine della radice dei quadrati in questione. Come possiamo renderci conto, 1 è il quadrato più grande che è contenuto nel 2, per cui la sua radice è 1; mentre 9 è il quadrato più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 3.

3) siccome 256 termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Allora bisognerà moltiplicare la radice delle decine (1) per il suo successivo (2). Se il prodotto è contenuto nella prima parte del quadrato (2), si avrà 6; se invece non è contenuto, si avrà 4. Nel nostro caso, il 2 (1·2) è contenuto nel 2, per cui la radice delle unità sarà 6. Quindi, avremo che la radice quadrata di 256 è 16.

Se consideriamo 1156, terminando esso con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Moltiplicando la radice delle decine (3) per il suo successivo (4), avremo come prodotto 12. Siccome esso non è contenuto nell'11, la radice delle unità sarà 4. Quindi, avremo che la radice quadrata di 1156 è 34.

Altri esempi:

Se il quadrato è 121 (1'21), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome il 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 1. Quindi la radice quadrata di 121 è 11.

Se il quadrato è 361 (3'61), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome 2 (1·2) è contenuto nel 3, la radice delle unità è 9. Quindi, la radice quadrata di 361 è 19.

Se il quadrato è 324 (3'24), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome il 2 (1·2) è contenuto nell'3, la radice delle unità è 8. Quindi la radice quadrata di 324 è 18.

Se il quadrato è 144 (1'44), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 2. Quindi, la radice quadrata di 144 è 12.

Se il quadrato è 625 (6'25), la radice delle decine (6) è 2. Terminando esso con 5, la radice delle unità può essere solo 5. Quindi, la radice quadrata di 625 è 25.

13) RADICE DEI CUBI DEI NUMERI DA 11 A 99

Per trovare la radice del cubo di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che: a) 1 è il cubo di 1, 8 è il cubo di 2, 27 è il cubo di 3, 64 è il cubo di 4, 125 è il cubo di 5, 216 è il cubo di 6, 343 è il cubo di 7, 512 è il cubo di 8, 729 è il cubo di 9; b) se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:

se il cubo termina con 2, la radice delle unità sarà 8; se invece termina con 8, la radice delle unità sarà 2. Se il cubo termina con 3, la radice delle unità sarà 7, se invece termina con 7, la radice delle unità sarà 3.

Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.

1) si staccano nel cubo tre cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime tre, come appresso: 19683 diventa 19'683; 79507 diventa 79'507.

2) si vede qual è il cubo più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 19 e in 79. Così conosceremo anche le decine della radice dei cubi in questione. Come possiamo renderci conto, 8 è il cubo più grande che è contenuto nel 19, per cui la sua radice è 2; mentre 64 è il cubo più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 4.

3) Per conoscere la radice delle unità, basta rifarsi a quanto detto sopra, ossia: se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:

Nel caso che prendiamo in considerazione i cubi 19683 e 79507, le unità della radice cubica del primo quadrato sono 7, per cui la sua radice cubica risulta 27; mentre le unità della radice cubica del secondo cubo sono 3, per cui la sua radice cubica diventa 43.

14) MOLTIPLICAZIONI DIRETTE MEDIANTE IL GRAFICO

Per eseguire una moltiplicazione diretta bisogna memorizzare il grafico posto sulla sinistra (il grafico si ottiene, unendo ogni estremo superiore di una linea con gli estremi inferiori delle altre linee), tenendo presente: 1) ogni linea rappresenta un prodotto dato dai due fattori posti ai suoi estremi; 2) ogni pallino centrale indica un prodotto o la somma di due o più prodotti, a seconda delle linee che passano per esso; 3) alle somme centrali dei prodotti, come pure al prodotto finale, va aggiunto l'eventuale riporto.

23 ·

14 =

----------

322

Nella moltiplicazione 23 · 14, avremo:

4 · 3 =12 (2 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 3 = 11 + 1 (riporto) = 12 (2 si scrive e 1 si riporta); 1 · 2 = 2 + 1 (riporto) = 3 (si scrive 3)

Risultato finale: 322

123 ·

243 =

-------------

29.889

1234 ·

2104 =

---------------

2.596.336

Nella moltiplicazione 123 · 243, avremo:

3 · 3 = 9 (si scrive 9); 3 · 2 + 4 · 3 = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 3 · 1 + 2 · 3 + 4 · 2 = 17 + 1 (riporto) = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 2 · 1 = 2 (si scrive 2)

Risultato finale: 29.889

Nella moltiplicazione 1234 · 2104, avremo:

4 · 4 = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 4 · 3 + 0 · 4 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 4 + 0 · 3 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 4 + 1 · 3 + 0 · 2 =15 + 1 (riporto) = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 2 • 3 + 0 • 1 + 1 • 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 1 • 1 + 2 • 2 = 5 (si scrive 5); 2 • 1 = 2 (si scrive 2)

Risultato finale: 2.596.336

15) MOLTIPLICAZIONI PER 11

Numeri con due cifre

Il prodotto di un numero di due cifre per 11 si ottiene in questo modo: a destra si pone la cifra delle unità del numero e a sinistra si pone il numero stesso aumentato della cifra indicante le sue decine.

Se dobbiamo moltiplicare 36x11, scriviamo a destra 6 e a sinistra 39 (36+3). Quindi il risultato finale sarà 396.

Se dobbiamo moltiplicare 17x11, scriviamo a destra 7 e a sinistra 18 (17+1). Quindi il risultato finale sarà 187.

Se dobbiamo moltiplicare 36x11, scriviamo a destra 6 e a sinistra 39 (36+3). Quindi il risultato finale sarà 396.

Se dobbiamo moltiplicare 92x11, scriviamo a destra 2 e a sinistra 101 (92+9). Quindi il risultato finale sarà 1012.

Numeri con tre cifre

Il prodotto di un numero di tre cifre per 11 si ottiene in questo modo: a destra si pone la cifra delle unità del numero e a sinistra si pone il numero stesso aumentato del numero formato dalle sue due prime cifre.

Se dobbiamo moltiplicare 123x11, scriviamo a destra 3 e a sinistra 135 (123+13). Quindi il risultato finale sarà 1353.

Se dobbiamo moltiplicare 925x11, scriviamo a destra 5 e a sinistra 1017 (925+92). Quindi il risultato finale sarà 10175.

Allo stesso modo si può procedere anche con numeri che hanno più di tre cifre.

16) NUOVO SISTEMA NUMERICO IN LETTERE

Prima di andare avanti nell'apprendimento del nuovo sistema numerico in lettere, è utile venire a conoscenza della pronuncia delle consonanti usate per formare i numeri. Al riguardo, va fatto presente:

Le vocali E ed O hanno sempre suono aperto, come in setta e in posta;

Le consonanti C e G hanno suono dolce anche davanti ad A, O e U. Il loro suono duro è dato rispettivamente dalle consonanti K e H. Perciò ha si legge ga e he si legge ghe.

La consonante X ha il suono del sc dolce italiano. Quindi, xa si legge scià e xe si legge sce.

Le consonanti B, D, F, L, M, N, P, R, S, T, V, Z si leggono come nella lingua italiana.

17) I Numeri: dalle Unità ai Miliardi

In lettere, i numeri da 0 a 9 sono i seguenti:

Voev=zero; bir=uno; fic=due; kid=tre; lig=quattro; mih=cinque; pin=sei; riv=sette; six=otto; tiz=nove.

I restanti numeri, sempre in lettere, si formano mediante le seguenti regole:

1) Le decine si ottengono, frapponendo una a tra la consonante iniziale e la vocale i delle unità. L’accento cade sulla vocale a.

bair=dieci; faic=venti; kaid=trenta; laig=quaranta; maih=cinquanta;
pain=sessanta; raiv=settanta; saix=ottanta; taiz=novanta.

2) Le centinaia si ottengono, frapponendo una e fra la vocale i e la consonante finale delle unità. L’accento cade sulla vocale i.

bier=cento; fiec=duecento; kied=trecento; lieg=quattrocento;
mieh=cinquecento; pien=seicento; riev=settecento;
siex=ottocento; tiez=novecento.

3) I numeri formati da decine e unità si ottengono, aggiungendo le unità alle decine e privando queste ultime della loro consonante finale.

Baitiz=diciannove; laimih=quarantacinque; paisix=sessantotto; taibir=novantuno; fairiv=ventisette; maipin=sessantasei; kaific=trentadue; rairiv=settantasette.

4) I numeri formati da centinaia e unità si ottengono, aggiungendo le unità alle centinaia e privando queste ultime della loro consonante finale.

Biebir=centouno; fiekid=duecentotre; lietiz=quattrocentonove; miesix=cinquecentootto; piemih=seicentocinque; rielig=settecentoquattro; kiekid=trecentotre.

5) I numeri formati da centinaia e decine si ottengono, aggiungendo le decine alle centinaia e privando queste ultime della loro consonante finale.

Tiebair=novecentodieci; miefaic=cinquecentoventi; sietaiz=ottocentonovanta;
fiekaid=duecentotrenta; piebair=seicentodieci.

6) I numeri formati da centinaia, decine e unità si ottengono, aggiungendo le unità alle decine e privando le decine e le centinaia della loro consonante finale.

Tiepailig=novecentosessantaquattro; liemaikid=quattrocentocinquantatre; piebaitiz=seicentodiciannove; miepailig=cinquecentosessantaquattrro; sietaibir=ottocentonovantuno; fiebaikid=duecontotredici; liefaific=quattrocentoventidue..

7) Dopo il 999, si ricorre al 1000 (vieb). Va fatto presente che negli ordini dal 1.000 in poi (come 10.000, 100.000, 1.000.000, ecc…), i quali sono tutti potenze del 10 e sono formati sempre da quattro lettere, la consonante finale indica una o più terne di zeri da considerare nel numero, essendo esse consonanti numeriche, il cui valore ci è ben noto. Inoltre, le consonanti c e z rappresentano rispettivamente uno zero e due zeri da aggiungersi al valore delle terne.
Se prendiamo vieb, ossia mille, la consonante numerica b (1) ci dice che gli zeri da aggiungere all’unità sono tre (1x3). Non ci sono altri zeri da aggiungere, poiché in esso mancano sia la consonante c (uno zero) sia la consonante z (due zeri). Infine i vari ordini vengono separati con un trattino. Ecco alcuni esempi:

Mille e due=vieb-fic; diecimila e quaranta=ciob-laig; centomila e trecento=ziub-kied; un milione=vief; un milione e trenta=vief-kaid; un milione e centomila=vief-ziub; un milione e centoquaranta=vief-bielaig; un milione e diecimilaquattro=vief-ciob-lig;
un miliardo e novanta=viek-taiz; dieci miliardi e un milionecinque=ciok-vief-mih; cento miliardi diecimilasettanta=ziuk-vief-raiv;
un bilione=viel; dieci bilioni e ottocentotre=ciol-siekid; centobilioni, diecimilioni e novecento=ziul-ciof-tiez;
un biliardo=viem; diecibiliardi=ciom; centobiliardi=zium; un biliardo, dieci miliardi e diecimila=viem-ciok-ciob;
un trilione=viep; dieci trilioni, cento biliardi e diecimila=ciop-zium-ciob; cento trilioni, dieci miliardi e centomilasettanta=ziup-ciok-ziub-raiv;
un triliardo=vier; cento triliardi, diecimilioni e centomila=ziur-ciof-ziub; un biliardo, dieci miliardi e centomila=viem-ciok-ziub;
un quadrilione=vies; dieci quadrilioni, cento bilioni, un milione e mille=cios-ziul-vief-vieb; cento quadrilioni, cento triliardi, diecibilioni e dieci milioni=zius-ziur-ciol-ciof;
un quadriliardo=viet; dieci quadriliardi, dieci trilioni e un miliardo=ciot-ciop-viek.

8) Gli ordini, dalle migliaia in poi, a volte sono preceduti dai numeri 2-999, che ne indicano la quantità. In quel caso tali numeri prendono il suffisso, che viene dato dalle ultime due cifre della potenza del 10 a cui si riferisce. L’unione, comunque, avviene tramite la vocale i. Adesso vedremo come avviene con vari esempi.

Tremila=kidieb (dove kid è 3 e eb è la parte terminale di vieb (mille);
quarantotto milioni=laisixief (dove laisix=48, mentre ef è la parte terminale di vief=un milione);
cinquantasei miliardi=maipiniok (dove maipin=56, mentre ek è la parte terminale di viek=miliardo);
ottocentodieci bilioni=siebairiel (dove siebair=810, mentre el è la parte terminale di iel=bilione);
duemilaquattrocento triliardi=ficieb-liegier (dove ficieb=2000, mentre eb è la parte terminale di vieb=mille e er è la parte terminale di vier=triliardo)

9) Nella Raubser, i numeri hanno anche una forma letterale, che può sostituire quella delle cifre. Le lettere, che vanno scritte in stampatello maiuscolo, rappresentano le consonanti iniziali delle dieci cifre da 0 a 9. Essa riesce molto abbreviata, come possiamo renderci conto dai seguenti esempi:

TFM=novecentoventicinque; BL=quattordici; SVR=ottocentosette; KP=trentasei; PKT=seicentotrentanove; FVS=duecentootto; FBV=duecentodieci; TTT=novecentonovantanove; LBM=quattrocentoquindici.

Dal mille in poi, ogni ordine, dal più grande al più piccolo, viene indicato dalle due ultime lettere del suo nome (una vocale più una consonante). Inoltre, gli ordini vengono separati l’uno dall’altro con un trattino (-).

MEf=cinquemilioni; MOF=cinquantamilioni; MUF=cinquecentomilioni; KLREB-MFV=trecentoquarantasettemilacinquecentoventi; KPEK-FVEF=trentaseimiliardi e ventimilioni; MFEK-SKEF-PEB=cinquantaduemiliardi, ottantatremilioni, seimilamila; REL-FEB-KLV=settebilioni, duemila, trecentoquaranta; ecc…

18) Numeri oltre i Miliardi

I Numeri oltre i Miliardi, che si possono esprimere con un nome, raggiungono grandezze superastronomiche. Basti pensare che il più grande di essi, bitutit, rappresenta 104999, cioè 1 seguito da 4999 zeri. Al riguardo, bisogna sapere che la formazione di tali numeri e l’in¬terpretazione del loro valore si presen¬tano l’una semplice e l’altra agevole, per il fatto che essi sono stati ottenuti seguendo un criterio aritmetico basato sulla pura logica matematica. Perciò cerchiamo di approfondire bene tale criterio. Ma, prima di continuare il discorso su tale argomento, ci conviene rivedere quanto già appreso in precedenza. Ebbene, nei numeri potenze del 10 oltre i Miliardi, con esponente fino a 99, il bi iniziale indica la base 10; la sillaba che segue, la quale può essere vi, bi, fi, ki, li mi, pi, ri, si, ti, indica le centinaia (il suo valore è dato dalla consonante numerica); il numero formato dalle due consonanti numeriche finali, aggiunto alle centinaia, ci dà l'esponente della base 10. In tali numeri e negli altri che seguiranno, l'accento cade sulla terzultima vocale. Vediamo alcuni esempi:

bìvivif=102; bìvibis=1018; bìvifil=1024; bìvikiv=1030; bìvikip=1036; bìvilif=1042; bìvilis=1048; bìvimil=1054; bìvitit=1099.

Bìbivik=10103; bìbifir=10127; bìbilim=10145; bìbimit=10159; bìbiriv=10170; bìbikil=10134; bìbibip=10116; bìbipis=10168; bìbiviv=10100; bìbisir=10187; bìbitit=10199.
Bìfivis=10208; bìfifip=10226; bìfilip=10246; bìfipiv=10260; bìfirib=10271; bìfikim=10235; bìfibir=10217; bìfipit=10269; bìfiviv=10200; bìfisis=10288; bìfitit=10299.
Bìkivib=10301; bìkifis=10328; bìkilip=10346; bìkipiv=10360; bìkirib=10371; bìkikim=10335; bìkibir=10317; bìkipit=10369; bìkitif=10392; bìkitit=10399.
Bìlivil=10404; bìlifis=10428; bìlilip=10446; bìlipiv=10460; bìlirib=10471; bìlikim=10435; bìlibir= 10417; bìlipip=10466; bìlitif=10492; bìlitit=10499.
bìmivif=10502; bìmibis=10518; bìmifil=10524; bìmikiv=10530; bìmikip=10536; bìmilif=10542; bìmilis=10548; bìmimil=10554; bìmitit=10599.
Bìpivik=10603; bìpifir=10627; bìpilim=10645; bìpimit=10659; bìpiriv=10670; bìpikil=10634; bìpibip=10616; bìpipis=10668; bìpiviv=10600; bìpisir=10687; bìpitit=10699.
Bìrivis=10708; bìrifip=10726; bìrilip=10746; bìripiv=10760; bìririb=10771; bìri¬kim=10735; bìribir=10717; bìripit=10769; bìriviv=10700; bìrisis=10788; bìritit=10799.
Bìsivib=10801; bìsifis=10828; bìsilip=10846; bìsipiv=10860; bìsirib=10871; bìsikim=10835; bìsibir=10817; bìsipit=10869; bìsitif=10892; bìsitit=10899.
Bìtivil=10904; bìtifis=10928; bìtilip=10946; bìtipiv=10960; bìtirib=10971; bìtikim=10935; bìtibir=10917; bìtipip=10966; bìtitif=10992; bìtitit=10999.

In tali numeri vi, bi, fi, ki, li, mi, pi, ri, si e ti indicano le centinaia, poiché corrispondono rispettivamente a 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 e 900. Ma, se alla i sostituiamo la a, facendoli diventare va, ba, fa, ka, la, ma, pa, ra, sa e ta, il loro valore aumenta di un migliaio, per cui essi diventano rispettivamente 1000, 1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, 1700, 1800 e 1900. Vediamo alcuni esempi:

bìvabis=101018; bìbafir=101127; bìfasis=101288; bìkalip=101346; bìlarib=101471; bìmamil= 101554; bìparib=101671; bìrarib=101771; bìsakim=101835; bìtatit= 101999.

Se invece alla i sostituiamo la e e li facciamo diventare ve, be, fe, ke, le, me, pe, re, se e te, il loro valore aumenta di due migliaia, per cui essi diventano rispettivamente 2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700, 2800 e 2900. Vediamo alcuni esempi:

bìvebis=102018; bìbefir=102127; bìfesis=102288; bìkelip=102346; bìlerib=102471; bìmemil=102554; bìperib=102671; bìrerib=102771; bìsekim=102835; bìtetit=102999.

Se invece alla i sostituiamo la o e li facciamo diventare vo, bo, fo, ko, lo, mo, po, ro, so e to, il loro valore aumenta di tre migliaia, per cui essi diventano rispettivamente 3000, 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800 e 3900. Vediamo alcuni esempi:

bìvobis=103018; bìbofir=103127; bìfosis=103288; bìkolip=103346; bìlorib=103471; bìmomil=103554; bìoerib=1023671; bìrorib=103771; bìsokim=103835; bìtotit=103999.

Se invece alla i sostituiamo la u e li facciamo diventare vu, bu, fu, ku, lu, mu, pu, ru, su e tu, il loro valore aumenta di quattro migliaia, per cui essi diventano rispettivamente 4000, 4100, 4200, 4300, 4400, 4500, 4600, 4700, 4800 e 4900. Vediamo alcuni esempi:

bìvubis=104018; bìbufir=104127; bìfusis=104288; bìkulip=104346; bìlurib=104471; bìmumil=104554; bìpurib=104671; bìrurib=104771; bìsukim=104835; bìtutit=104999.

Se al posto di 1 c'è un numero diverso, abbiamo:

Kid tao bivibik=3x1013 o 3 seguito da 13 zeri; riv tao bivibif=7x1012 o 7 seguito da 12 zeri; baifìc tao bivibim=12x1015 o 12 seguito da 15 zeri; pin tao bivibis=6x1018 o 6 seguito da 18 zeri; ecc…

Nelle potenze con base diversa da 10, abbiamo:

kid-xeibik=313; mih-xeivik=53; riv-xeibiv=710; baisix-xeivit=189.

(Come si vedrà in seguito, il prefisso xei deriva da xeuz=potenza)

Oltre al nome, le potenze del 10 o di altri numeri, possono avere una forma letterale, che si ottiene nel modo seguente:

104=BVl; 93=Tk; 28=Fs; 10325=BVkfm; 10-25=BV-fm; 37x1032=KRxBVkf.

19)Nomi dei Multipli e dei Sottomultipli delle Potenze del 10

I nomi dei multipli e dei sottomultipli delle potenze del 10 sono stati ottenuti con le dieci consonanti numeriche (v, b, f, k, l, m, p, r, s, t) e con le due consonanti non numeriche c e z. I valori delle consonanti c e z, che a volte sono sostituite dalle due vocali o ed u, sono rispetti-vamente 10¹ e 10² nei multipli e 10^-1 e 10^-2 nei sottomultipli. Essi vanno aggiunti a quello della consonante numerica, il quale si ottiene, moltiplicando per 3 il suo valore. La consonante v ha il valore di 1. Alcuni di tali numeri si possono trovare scritti in modo diverso; ma le loro lettere danno sempre lo stesso valore.

Nomi, Valori, Prefissi e Simboli dei Multipli delle Potenze del 10

Nome	Valore	Suffisso	Simbolo
viev=unità	10⁰		v
ciov=decina (deca)	10¹	iov	cv
ziuv=centinaio (hecto)	10²	iuv	zv
vieb=migliaio	10³	ieb	vb
ciob=decamigliaio	10⁴	iob	cb
ziub=hectomigliaio	10⁵	iub	zb
vief=milione	10⁶	ief	fv
ciof=decamilione	10⁷	iof	cf
ziuf=hectomilione	10⁸	iuf	zf
viek=miliardo	10⁹	iek	vk
ciok=decamiliardo	10¹⁰	iok	ck
ziuk=hectomiliardo	10¹¹	iuk	zk
viel=bilione	10¹²	iel	vl
ciol=decabilione	10¹³	iol	cl
ziul=hectobilione	10¹⁴	iul	zl
viem=biliardo	10¹⁵	iem	vm
ciom=decabiliardo	10¹⁶	iom	cm
zium=hectobiliardo	10¹⁷	ium	zm
viep=trilione	10¹⁸	iep	vp
ciop=decatrilione	10¹⁹	iop	cp
ziup=hectotrilione	10²⁰	iup	zp
vier=triliardo	10²¹	ier	vr
cior=decatriliardo	10²²	ior	cr
ziur=hectotriliardo	10²³	iur	zr
vies=quadrilione	10²⁴	ies	vs
cios=decaquadrilione	10²⁵	ios	cs
zius=hectoquadrilione	10²⁶	ius	zs
viet=quadriliardo	10²⁷	iet	vt
ciot=decaquadriliardo	10²⁸	iot	ct
ziut=hectoquadriliardo	10²⁹	iut	zt

Nomi, Valori, Prefissi e Simboli dei Sottomultipli delle Potenze del 10

Misura	Valore	Prefisso	Simbolo
voic=decimo	10^-1	voi	vc
vuiz=centesimo	10^-2	vui	vz
beiv=millesimo	10^-3	bei	bv
boic=decimillesimo	10^-4	boi	bc
buiz=centimillesimo	10^-5	bui	bz
feiv=milionesimo	10^-6	fei	fv
foic=decimilionesimo	10^-7	foi	fc
fuiz=centimilionesimo	10^-8	fui	fz
keiv=miliardesimo	10^-9	kei	kv
koic=decimiliardesimo	10^-10	koi	kc
kuiz=centimiliardesimo	10^-11	kui	kz
leiv=bilionesimo	10^-12	lei	lv
loic=decibilionesimo	10^-13	loi	lc
luiz=centibilionesimo	10^-14	lui	lz
meiv=biliardesimo	10^-15	mei	mv
moic=decibiliardesimo	10^-16	moi	mc
muiz=centibiliardesimo	10^-17	mui	mz
peiv=trilionesimo	10^-18	pei	pv
poic=decitrilionesimo	10^-19	poi	pc
puiz=centitrilionesimo	10^-20	pui	pz
reiv=triliardesimo	10^-21	rei	rv
roic=decitriliardesimo	10^-22	roi	rc
ruiz=centitriliardesimo	10^-23	rui	rz
seiv=quadrilionesimo	10^-24	sei	sv
soic=deciquadrilionesimo	10^-25	soi	sc
suiz=centiquadrilionesimo	10^-26	sui	sz

teiv=quadriliardesimo	10^-24	tei	tv
toic=deciquadriliardesimo	10^-25	toi	tc
tuiz=centiquadriliardesimo	10^-26	tui	tz

20-Unità Fondamentali di Misura e loro Simboli

ampere=steop (st); Angolo piano=Kulanald (K);
Angolo solido=Nalukald (N); Area=Aner (A); bandela=bezoh (b); Capacità elettrica=Cunafurp (C);
Carica elettrica=Orvef (O); Corrente elettrica=Gurpalez (G); coulomb=curful (c);
Energia=Dofem (D); farad=fapec (f); Flusso magnetico=Uvepurp (U); Forza=Feaz (F);
Frequenza=Efwbup (E); henry=lostor (l); hertz=huxor (h); Induttanza=Ybaperm (Y);
Induzione magnetica=Bapermaz (B); Intensità luminosa=Zazeap (Z); joule=kegax (k);
kelvin=pervum (p); kilogrammo=Xodieb (X); Lunghezza=cauvias (L); Massa=Mefod (M);
metro=neov (n); metro cubo=dun (d); metro quadrato=gon (g); mole=doz (do);
newton=mocom (m); ohm=kruac (kr); pascal=goldat (go); Potenza=Pazet (P);
Potenziale elettrico=Wpazeturp (W); Pressione=Sert (S); Quantità di materia=beumug (b);
radiante=ruetov (r); Resistenza elettrica=Relcovurp (R); secondo=vag (v); steradiante=xeruetov (x);
Temperatura=Heltas (H); Tempo=Teod (T); tesla=tasper (t); volt=sonab (s); Volume=Vusop (V);
watt=bluod (b); weber=froux (fr).

21-Sistema Metrico Decimale

Nel sistema metrico decimale, i multipli e i sottomultipli del metro (neov) e del grammo (xod) si ottengono, prefissando i loro simboli (per ottenere i multipli) e suffissando i medesimi (per ottenere i sottomultipli) con i prefissi e i suffissi riportati nelle due precedenti tabelle.

1) Misure di Lunghezza

I Multipli ed i Sottomultipli di neov (metro) si ottengono mediante i suffissi e i prefissi ottenuti con i nomi delle Potenze del 10 sia positive che negative.

Multipli del Metro

Nome

Valore

Abbreviazione

Simbolo

neov

10⁰

nev

n

neoviov=decametro

10¹

niov

nc

neoviuv=hectometro

10²

niuv

nz

neovieb=chilometro

10³

nieb

nb

neoviob=decachilometro

10⁴

niob

ncb

neoviub=hectochilometro

10⁵

niub

nzb

neovief=megametro

10⁶

nief

nf

neoviuf=decamegametro

10⁷

niof

ncf

neoviuf=hectomegametro

10⁸

niuf

nzf

neoviek=gigametro

10⁹

niek

nk

neoviok=decagigametro

¹⁰

niok

nck

neoviuk=hectogigametro

10¹¹

niuk

nzk

neoviel=terametro

10¹²

niel

nl

neoviol=decaterametro

10¹³

niol

ncl

neoviul=hectoterametro

10¹⁴

niul

nzl

neoviem=petametro

10¹⁵

niem

nm

neoviom=decapetametro

10¹⁶

niom

ncm

neovium=hectopetametro

10¹⁷

nium

nzm

neoviep=exametro

10¹⁸

niep

np

neoviop=decaexametro

10¹⁹

niop

ncp

neoviup=hectoexametro

10²⁰

niup

nzp

neovier=zettametro

10²¹

nier

nr

neovior=decazettametro

10²²

nior

ncr

neoviur=hectozettametro

10²³

niur

nzr

neovies=yottametro

10²⁴

nies

ns

neovios=decayottametro

10²⁵

nios

ncs

neovius=hectoyottametro

10²⁶

nius

nzs

Sottomultipli del metro

Nome

Valore

Abbreviazione

Simbolo

voineov=decimetro

10^-1

voin

cn

vuineov=centimetro

10^-2

vuin

zn

beineov=millimetro

10^-3

bein

bn

boineov=decimillimetro

10^-4

boin

bcn

buineov=centimillimetro

10^-5

buin

bzn

feineov=micrometro

10^-6

fein

fn

foineov=decimicrometro

10^-7

foin

fcn

fuineov=centimicrometro

10^-8

fuin

fzn

keineov=nanometro

10^-9

kein

kn

koineov=decinanometro

10^-10

koink

kcn

kuineov=centinanometro

10^-11

kuin

kzn

leineov=picometro

10^-12

lein

ln

loineovl=decipicometro

10^-13

loin

lcn

luineov=centipicometro

10^-14

luin

lzn

meineov=femtometro

10^-15

mein

mn

moineov=decifemtometro

10^-16

moin

mcn

muineov=centifemtometro

10^-17

muin

mzn

peineov=attometro

10^-18

pein

pn

poineov=deciattometro

10^-19

poin

pcn

puineov=centiattometro

10^-20

puin

pzn

reineov=zeptometro

10^-21

rein

rn

roineov=decizeptometro

10^-22

roin

rcn

ruineov=centizeptometro

10^-23

ruin

rzn

seineov=yoctometro

10^-24

sein

sn

soineov=deciyoctometro

10^-25

soin

scn

suineov=centiyoctometro

10^-26

suin

szn

N.B. Aggiungendo alle Misure di Lunghezza la vocale o oppure la vocale u, si ottengono le rispettive misure di superficie e di volume:

nev=metro / nevo=metro quadrato / nevu=metro cubo; voin=decametro / voino=decametro quadrato / voinu=decametro cubo; niuv=centimetro / niuvo=centimetro quadrato / niuvu=centimetro cubo.

2) Misure Agrarie di Superficie

Le Misure Agrarie di Superficie presentano un numero indicante i loro m². Esse sono le seguenti:

Vavab=centiara; vavob=ara; vabuv=ettaro-a.

3) Misure di Massa

I Multipli e i Sottomultipli di xod (grammo) si ottengono mediante le consonanti numeriche, che vengono adoperate come potenze di 10 sia positive che negative.

Multipli del Grammo

Nome	Valore	Abbreviazione	Simbolo
xod	10⁰		x
xodiov=decagrammo	10¹	xiov	xc
xodiuv=hectogrammo	10²	xiuv	xz
xodieb=chilogrammo	10³	xieb	xb
xodiob=decachilogrammo	10⁴	xiob	xcb
xodiub=hectochilogrammo	10⁵	xiub	xzb
xodief=megagrammo	10⁶	xief	xf
xodiof=decamegagrammo	10⁷	xiof	xcf
xodiuf=hectomegagrammo	10⁸	xiuf	xzf
xodiek=gigagrammo	10⁹	xiek	xk
xodiok=decagigagrammo	10¹⁰	xiok	xck
xodiuk=hectogigagrammo	10¹¹	xiuk	xzk
xodiel=teragrammo	10¹²	xiel	xl
xodiol=decateragrammo	10¹³	xiol	xcl
xodiul=hectoteragrammo	10¹⁴	xiul	xzl
xodiem=petagrammo	10¹⁵	xiem	xm
xodiom=decapetagrammo	10¹⁶	xiom	xcm
xodium=hectopetagrammo	10¹⁷	xium	xzm
xodiep=exagrammo	10¹⁸	xiep	xp
xodiop=decaexagrammo	10¹⁹	xiop	xcp
xodiup=hectoexagrammo	10²⁰	xiup	xzp
xodier=zettagrammo	10²¹	xier	xr
xodior=decazettagrammo	10²²	xior	xcr
xodiur=hectozetagrammo	10²³	xiur	xzr
xodies=yottagrammo	10²⁴	xies	xs
xodios=decayottagrammo	10²⁵	xios	xcs
suixodius=hectoyottagrammo	10²⁶	xius	xzs

Sottomultipli del Grammo

Nome	Valore	Abbreviazione	Simbolo
voixod=decigrammo	10^-1	voix	cx
vuixod=centigrammo	10^-2	vuix	zx
beixod=milligrammo	10^-3	beix	bx
boixod=decimilligrammo	10^-4	boix	bcx
buixod=centimilligrammo	10^-5	buix	bzx
feixod=microgrammo	10^-6	feix	fx
foixod=decimicrogrammo	10^-7	foix	fcx
fuixod=centimicrogrammo	10^-8	fuix	fzx
keixod=nanogrammo	10^-9	keix	kx
koixod=decinanogrammo	10^-10	koix	kcx
kuixod=centinanogrammo	10^-11	kuix	kzx
leixod=picogrammo	10^-12	leix	lx
loixod=decipicogrammo	10^-13	loix	lcx
luixod=centipicogrammo	10^-14	luix	lzx
meixod=femtogrammo	10^-15	meix	mx
moixod=decifemtogrammo	10^-16	moix	mcx
muixod=centifemtogrammo	10^-17	muix	mzx
peixod=attogrammo	10^-18	peix	px
poixod=deciattogrammo	10^-19	poix	pcx
puixod=centiattogrammo	10^-20	puix	pzx
reixod=zeptogrammo	10^-21	reix	rx
roixod=decizeptogrammo	10^-22	roix	rcx
ruixod=centizeptogrammo	10^-23	ruix	rzx
seixod=yoctogrammo	10^-24	seix	sx
soixod=deciyoctogrammo	10^-25	soix	scx
suixod=centiyoctogrammo	10^-26	suix	szx

22) TABELLA DELLE POTENZE DEL 10 FINO ALL'ESPONENTE 1000

Biviviv=10⁰ / bivivib=10¹ / bivivif=10² / bivivik=10³ / bivivil=10⁴ / bivivim=10⁵ / bivivip=10⁶ / bivivir=10⁷ / bivivis=10⁸ / bivivit=10⁹ / bivibiv=10¹⁰
bivibib=10¹¹ / bivibif=10¹² / bivibik=10¹³ / bivibil=10¹⁴ / bivibim=10¹⁵ / bivibip=10¹⁶ / bivibir=10¹⁷ / bivibis=10¹⁸ / bivibit=10¹⁹ / bivifiv=10²⁰
bivifib=10²¹ / bivifif=10²² / bivifik=10²³ / bivifil=10²⁴ / bivifim=10²⁵ / bivifip=10²⁶ / bivifir=10²⁷ / bivifis=10²⁸ / bivifit=10²⁸ / bivikiv=10³⁰
bivikib=10³¹ / bivikif=10³² / bivikik=10³³ / bivikil=10³⁴ / bivikim=10³⁵ / bivikip=10³⁶ / bivikir=10³⁷ / bivikis=10³⁸ / bivikit=10³⁹ / biviliv=10⁴⁰
bivilib=10⁴¹ / bivilif=10⁴² / bivilik=10⁴³ / bivilil=10⁴⁴ / bivilim=10⁴⁵ / bivilip=10⁴⁶ / bivilir=10⁴⁷ / bivilis=10⁴⁸ / bivilit=10⁴⁹ / bivimiv=10⁵⁰
bivimib=10⁵¹ / bivimif=10⁵² / bivimik=10⁵³ / bivimil=10⁵⁴ / bivimim=10⁵⁵ / bivimip=10⁵⁶ / bivimir=10⁵⁷ / bivimis=10⁵⁸ / bivimit=10⁵⁹ / bivipiv=10⁶⁰
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