INDICE

A) GEOMETRIA


1) Nuovi Teoremi sul Triangolo Rettangolo

2) Risoluzione algebrica del teorema di Pitagora

3) Teoremi geometrici al posto di Equazioni di II grado

4) Teorema sulle proiezioni dei cateti

5) Terne Pitagoriche Primitive e multiple: come ottenerle

6) Terne pitagoriche entro il 1000


B) ARITMETICA


7) Sui Quadrati dei numeri

8) Radice dei quadrati dei numeri da 11 a 99

9) Radice dei cubi dei numeri da 11 a 99

10) Moltiplicazioni dirette mediante il grafico

11) Tabelline come differenze e prodotti

12) Complementari di 10, 100, 1000, 10000, ecc...

13) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 5

14) Moltiplicazioni con numeri compresi tra 11 e 19

15) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 1

16) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 9

17) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 2

18) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 8

19) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 3

20) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 7

21) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 4

22) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 6

23) Regola riepilogativa delle moltiplicazioni tra due fattori che terminano con 1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6

24) Moltiplicazioni per 5

25) Moltiplicazioni per 9

26) Moltiplicazioni per 6

27) Moltiplicazioni per 8

28) Moltiplicazioni per 7

29) Moltiplicazioni per 4


_______________________________________________________
 

A) GEOMETRIA

 

1) Nuovi teoremi sul triangolo rettangolo

 

Teorema 1

 

 

Il rettangolo costruito sui cateti AB e BC, ossia ABCD, è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BF e il lato del quadrato BH, ossia BFGH. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con l il lato e con d la diagonale del quadrato o bisettrice del triangolo rettangolo, avremo:

 

ABCD ~ BFGH; da cui:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti BC (a) e BA (b) misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto l e la

diagonale d.

 



Nel triangolo rettangolo ABC, l'area misura 294 cm² e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare la somma dei cateti.

 



Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e il lato del quadrato misura 12 cm. Calcolare l'area.

 

 

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e l'area misura 294 cm². Calcolare il lato del quadrato e la sua diagonale.

 


Teorema 2

Il rettangolo costruito sulle differenze tra ogni cateto e il lato del quadrato, ossia LRDP, è equivalente al quadrato inscritto nel triangolo, ossia BHLM. Ciò vuol dire che il lato del quadrato è medio proporzionale tra tali differenze AH e CM. Per cui, indicandole con z (la minore) e con y (la maggiore), avremo:

 

LRDP ~ BHLM; da cui:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, x e y misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto.

 



Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e y misura 16 cm. Calcolare la misura di x.

 



Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e x misura 9 cm. Calcolare la misura di y.

 

Teorema 3

Il rettangolo costruito sulla somma dei cateti (BC+ BA) e la somma delle loro differenze (HA+MC) è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa AC. Ciò vuol dire che l’ipotenusa è media proporzionale tra tali somme. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con e y rispettivamente la differenza minore e quella maggiore, avremo:

 

BC+BA) · (AH+CM) ~ AC · AC; da cui:

 

 



 

 

 

 

 

 

Problemi

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare l'ipotenusa.

 



Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma di y + x misura 25 cm. Calcolare la somma dei cateti.

 



Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma dei cateti misura 49 cm. Calcolare la somma di y + x.

 

 

Teorema 4

Il quadrato di ciascun cateto è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la relativa differenza AH o CM. Per cui, indicando con a e b rispettivamente il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

 

(BC+BA) · MC ~ BC²; da cui:

 



 

 

 

 

 

 

 

 

Problema

 

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare le misure di x e di y.

 





 

Teorema 5

 

Ogni cateto è medio proporzionale tra la somma dei cateti e la relativa differenza. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con x e y la differenza minore e quella maggiore, avremo:

 

(BC+BA) · HA ~ BA²; da cui:

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problema

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, mentre y e x misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare i cateti.

 

 

 

 

Teorema 6

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte minore dell’ipotenusa  che viene divisa dalla bisettrice, ossia LA. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore dell’ipotenusa, avremo:

 

BA · AC ~ (BC+BA) · LA; da cui:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di v.

 



 

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre v misura 15 cm. Calcolare il cateto minore.

 



Teorema 7

 

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA e la parte maggiore dell’ipotenusa  che viene divisa dalla bisettrice, ossia LC. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore, avremo:

 

BC · AC ~ (BC+BA) · LC; da cui:

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di z.

 

 

Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre z misura 20 cm. Calcolare il cateto maggiore.

 

 

Teorema 8

 

 

Il rettangolo costruito sul cateto minore BA e il lato del quadrato BM, ossia ABMR, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e la differenza tra il cateto minore e il lato del quadrato AH, ossia AHPD. Perciò avremo:

 

ABMR = AHPD; da cui:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto minore misura 21 cm e x misura 9 cm. Calcolare il cateto maggiore.





Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di x.

 

 

 

 

Teorema 9

 

Il rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e il lato del quadrato BH, ossia HBCP, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto minore AB e la differenza tra il cateto maggiore BC e il lato del quadrato BM, ossia CDRM. Perciò avremo:

 

HBCP = CDRM ; da cui:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problemi

 

Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto maggiore misura 28 cm e y misura 16 cm. Calcolare il cateto minore.


 

Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di y.

 




 

2) RISOLUZIONE ALGEBRICA DEL TEOREMA DI PITAGORA

 

1) In algebra si è studiato il seguente prodotto notevole:

(a-b)2 = a2 + b2 - 2ab; da cui:

2ab + (a-b)2 = a2 + b2

dove:

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

2ab= doppio rettangolo costruito sui cateti o doppio prodotto dei cateti;

ab= rettangolo costruito sui cateti o prodotto dei cateti;

(a-b)2 = quadrato della differenza dei cateti;

a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa, in quanto somma dei quadrati dei due cateti;

ma dalla seconda uguaglianza sopra riportata, si deduce che il quadrato dell'ipotenusa è dato anche da:

2ab + (a-b)2

Per cui l'ipotenusa è anche uguale al doppio prodotto dei cateti più il quadrato della loro differenza.

Comunque, geometricamente parlando, possiamo dire che il quadrato dell'ipotenusa è equivalente al doppio rettangolo costruito sui cateti più il quadrato costruito sulla differenza degli stessi.

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa, avremo:

 

 

Ma abbiamo anche:

 

 

Se abbiamo a=12 e b=5, c sarà uguale a:

 

 

 

2) In algebra abbiamo ancora il seguente prodotto notevole:

 

a2-b2 = (a + b) · (a – b);

 

dove:

 

a e b = cateto maggiore e cateto minore;

 

(a + b) = somma dei cateti;

 

(a – b) = differenza dei cateti;

 

a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa

 

Per il teorema di Pitagora, il quadrato di un cateto è uguale al quadrato dell'ipotenusa meno il quadrato dell'altro cateto.

 

Indicando con c l'ipotenusa, abbiamo:

 

a2 = c2 – b2;   b2 = c2 – a2

 

Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa e applicando il prodotto notevole sopra riportato, avremo:

a2 = (c + b) · (c – b); 

 

b2 = (c + a) · (c – a);

 

Per cui il quadrato di un cateto è uguale al prodotto tra la somma dell'ipotenusa più l'altro cateto e la loro differenza.

 

In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto minore misura 7 cm, il cateto maggiore sarà uguale a:

 

In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto maggiore misura 7 cm, il cateto minore sarà uguale a:

 


 

3) TEOREMI GEOMETRICI AL POSTO DI SISTEMI DI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Nel triangolo rettangolo, alcuni problemi possono essere risolti, ricorrendo a teoremi geometrici ed evitando sistemi di equazione di secondo grado.

Il primo teorema è il seguente:

Il quadrato della somma dei cateti (a+b)² più quello della loro differenza (a-b)² danno il doppio quadrato dell’ipotenusa 2c².

La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:

1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 20 cm e la somma dei cateti misura 28 cm. Calcolare i cateti.

Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.

a = (28 + 4) : 2 = 32 : 2 = 16 cm   

Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.

b = (28 - 4) : 2 = 24 : 2 = 12 cm2) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 17 cm e la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare i cateti.

Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.

a = (23 + 7) : 2 = 30 : 2 = 15 cm   

Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.

b = (23 - 7) : 2 = 16 : 2 = 8 cm

3) In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti misura 31 cm e la differenza dei cateti misura 17 cm. Calcolare l’ipotenusa.

Il secondo teorema è il seguente:

Il doppio prodotto dei cateti 2ab più il quadrato della loro differenza (a-b)² danno il quadrato dell’ipotenusa.

La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:

 

1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 5 cm e l’area misura 6 cm². Calcolare i due cateti.

Applicando il teorema 1, avremo la somma dei cateti:

Conoscendosi la loro somma e la loro differenza, come già visto, i cateti saranno:

a = (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4 cm ;

b = (7 - 1) : 2 = 6 : 2 = 3 cm   

In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 10 cm, mentre la differenza dei cateti misura 2 cm. Calcolare l’area.

A = (10² - 2²) : 4 = (100 – 4) : 4 = 96 : 4 = 24 cm²

3) In un triangolo rettangolo, l’area misura 30 cm², mentre la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare l’ipotenusa c.

 

4) TEOREMA SULLE PROIEZIONI DEI CATETI

 

Image9

 

In un triangolo rettangolo, la differenza dei quadrati delle  proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la somma e la differenza dei cateti.

CH2 – AH2 = (BC + AB) (BC - AB)

Per cui le formule inverse risultano:

 

BC + AB = (CH2 – AH2) : (BC – AB)

BC - AB = (CH2 – AH2) : (BC + AB)

CH2 = (BC + AB) (BC - AB) + AH2

AH2 = CH2 - (BC + AB) (BC - AB)

 

PROBLEMI

1) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 40 cm e 30 cm. Calcolare la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

CH2 – AH2 = (BC+AB) (BC-AB) = (40+30) (40–30) = 70 ·10 = 700 cm2

2) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la somma dei cateti misura 70 cm. Calcolare i due cateti.

BC-AB =(CH2–AH2) : (BC+AB)=(322–182) : (40+30)=(1024–324) : 70=700 : 70=10 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40 cm

AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30 cm

3) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la differenza dei cateti misura 10 cm. Calcolare i due cateti.

BC + AB = (CH2 – AH2) : (BC - AB) = (322 – 182) : (40-30) = (1024 – 324) : 10 = 700 : 10 = 70 cm

BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40

AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30

4) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 9 cm. Calcolare la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.

CH2=(BC+AB) (BC-AB)+AH2=(20+15)

(20-15) + 92 = 35 · 5 + 81 = 175+81 = 256; da cui:

5) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa misura 16 cm. Calcolare la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa.

AH2 = (BC+AB) (BC-AB) (BC+AB)

(BC-AB) + AH2 = (20+15) (20-15) + 92 = 35 · 5 + 81=

= 175 + 81 = 256; da cui:

AH2 = CH2 - (BC+AB) (BC-AB) = 162 - (20+15)

(20-15) = 256-35 · 5 = 256-175 = 81;

da cui:

5) TERNE PITAGORICHE

 

Formano una terna pitagorica tre numeri interi, che rappresentano i lati di un triangolo rettangolo e soddisfano il teorema di Pitagora, nel senso che la somma dei quadrati dei due più piccoli è equivalente al quadrato del più grande. Comunque, siccome abbiamo visto che un lato di un triangolo rettangolo, conoscendo gli altri due, può essere trovato anche senza applicare il teorema di Pitagora, è improprio chiamarla terna pitagorica, anziché terna di un triangolo rettangolo.

Gli autori di testi di Geometria, nei problemi con applicazione del teorema di Pitagora, per avere risultati interi, ricorrono spesso a tali terne, che per lo più sono sempre le stesse, come le terne prime: 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 7, 24 e 25; 8, 15 e 17. Da ognuna di esse, si possono poi ricavare infinite terne multiple. Basta moltiplicare i loro tre numeri per uno stesso numero intero, a cominciare dal 2 fino all’infinito. Per questo ogni terna prima ha una infinità di terne multiple.

Esempio:

Dalla terna prima 3, 4 e 5, possiamo avere le terne multiple: 6, 8 e 10; 9, 12 e 15; 12, 16 e 20; 15, 20 e 25; 18, 24 e 30; 21, 28 e 35; 24, 32 e 40; 27, 36 e 45; 30, 40 e 50;  33, 44 e 55; ecc...

Anche le terne prime di un triangolo rettangolo sono infinite e si possono ricavare facilmente, applicando le due seguenti regole:

A) Se si parte da un numero dispari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:

Si ricavano dal cateto minore i due numeri consecutivi, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 3 si ricavano 1 e 2; dal numero 5 si ricavano 2 e 3; dal numero 7 si ricavano 3 e 4. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.

Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto di uno dei due numeri ricavati (conviene sempre raddoppiare il minore) per il doppio dell'altro; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 1.

Nel caso A), si hanno solo terne primitive.

Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:

Se il cateto minore è 3 (1+2), abbiamo:

cateto maggiore: 2 · 2 = 4

ipotenusa: 2 · 2 + 1 = 5

Se il cateto minore è 5 (2+3), abbiamo:

cateto maggiore: 4 · 3 = 12

ipotenusa: 4 · 3 + 1 = 13

Se il cateto minore è 7 (3+4), abbiamo:

cateto maggiore: 6 · 4 = 24

ipotenusa: 6 · 4 +1 = 25

B) Se si parte da un numero pari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:

Si ricavano dal cateto minore i due numeri alternati, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 4 si ricavano 1 e 3; dal numero 6 si ricavano 2 e 4; dal numero 8 si ricavano 3 e 5; dal numero 10 si ricavano 4 e 6; dal numero 12 si ricavano 5 e 7. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.

Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto dei due numeri ricavati; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 2.

Nel caso B), si hanno sia terne primitive, cioè quelle ottenute da 4 e dai suoi multipli, sia terne derivate, cioè tutte le altre.

Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:

Se il cateto minore è 4 (1+3), abbiamo:

cateto maggiore: 1 · 3 = 3

ipotenusa: 1 · 3 + 2 = 5

 (Si tratta dell'unico caso in cui 4 risulta cateto maggiore, anziché cateto minore, poiché esso viene a coincidere con la terna ricavata dal numero dispari 3, il quale dà: 3-4-5)

Se il cateto minore è 6 (2+4), abbiamo:

cateto maggiore: 2 · 4 = 8

ipotenusa: 2 · 4 + 2 = 10

(terna multipla di 3-4-5)

Se il cateto minore è 8 (3+5), abbiamo:

cateto maggiore: 3 · 5 = 15

ipotenusa: 3 · 5 + 2 = 17

(terna primitiva)

Se il cateto minore è 10 (4+6), abbiamo:

cateto maggiore: 4 · 6 = 24

ipotenusa: 4 · 6 + 2 = 26

(terna multipla di 5-12-13)

Se il cateto minore è 12 (5+7), abbiamo:

cateto maggiore: 5 · 7 = 35

ipotenusa: 5 · 7 + 2 = 37

(terna primitiva)

Come possiamo osservare, se i due numeri alternati risultano dispari (solo nei multipli di 4), essi danno luogo ad una terna primitiva; se invece risultano pari, danno luogo ad una terna derivata).

C) Se di un triangolo rettangolo si conoscono i due cateti oppure il cateto minore e l'ipotenusa, per sapere se essi formano una terna pitagorica, bisogna procedere, come se stessimo ricavando dal cateto minore quello maggiore o l'ipotenusa. Se il procedimento ci porta allo stesso cateto maggiore noto o all'ipotenusa nota, essi formano una terna pitagorica.

Se i cateti sono 5 e 12, siccome 5 è uguale a 2+3 e il prodotto 4·3 dà 12, i cateti 5 e 12 fanno parte di una terna pitagorica.

Se 5 e 13 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 5 è uguale a 2+3 e il risultato di 4·3+1 dà 13, 5 e 13 fanno parte di una terna pitagorica.

Se i cateti sono 8 e 15, siccome 8 è uguale a 3+5 e il prodotto 3·5 dà 15, i cateti 8 e 15 fanno parte di una terna pitagorica.

Se 8 e 15 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 8 è uguale a 3+5 e il risultato di 3·5+2 dà 17, 8 e 17 fanno parte di una terna pitagorica.

D) Esiste una certa progressione aritmetica nelle terne primitive, siano esse derivate da numeri dispari o da numeri pari multipli di 4. La quale è la seguente:

Il cateto maggiore di una terna primitiva è dato dal cateto minore della terna più la somma dei cateti della precedente terna.

Esempi:

Se abbiamo la terna 3, 4 e 5, che è la terna ottenuta con 3, il cateto maggiore della terna di 5 si ottiene, aggiungendo a 5 la somma dei due cateti della terna di 3:

5+7 (3+4) = 12

Per ottenere l'ipotenusa, si aggiunge sempre una unità al cateto maggiore: 12+1=13.

Se abbiamo la terna 8, 15 e 17, che è la terna ottenuta con 8, il cateto maggiore della terna di 12 si ottiene, aggiungendo a 12 la somma dei cateti della terna di 8:

12+23 (8+15) = 35

Per ottenere l'ipotenusa, si aggiungono sempre due unità al cateto maggiore: 35+2=37.

Una progressione di questo tipo ci permette di ottenere più velocemente le terne primitive di più numeri in successione, senza ricorrere ogni volta alle due regole riportate sopra, dopo che si è ottenuta la prima.
 

6) TERNE PITAGORICHE ENTRO IL 1000

 

(Le terne pitagoriche in neretto sono primitive)

3-4-5

5-12-13

6-8-10

7-24-25

8-15-17

9-12-15

9-40-41

10-24-26

11-60-61

12-16-20

12-35-37

13-84-85

14-48-50

15-20-25

15-36-39

15-112-113

16-30-34

16-63-65

17-144-145

18-24-30

18-80-82

19-180-181

20-21-29

20-48-52

20-99-101

21-28-35

21-72-75

21-220-221

22-120-122

23-264-265

24-32-40

24-45-51

24-70-74

24-143-145

25-60-65

25-312-313

26-168-170

27-36-45

27-120-123

27-364-365

28-45-53

28-96-100

28-195-197

29-420-421

30-40-50

30-72-78

30-224-226

31-480-481

32-60-68

32-126-130

32-255-257

33-44-55

33-56-65

33-180-183

33-544-545

34-288-290

35-84-91

35-120-125

35-612-613

36-48-60

36-77-85

36-105-111

36-160-164

36-323-325

37-684-685

38-360-362

39-52-65

39-252-255

39-760-761

40-42-58

40-75-85

40-96-104

40-198-202

40-399-401

41-840-841

42-56-70

42-144-150

42-440-442

43-924-925

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366-488-610

368-465-593

368-690-782

369-492-615

369-800-881

370-888-962

372-496-620

372-925-997

375-500-625

375-900-975

376-705-799

378-504-630

378-680-778

380-399-551

380-672-772

380-912-988

381-508-635

384-440-584

384-512-640

385-552-673

387-516-645

387-884-945

390-432-582

390-520-650

390-800-890

392-630-742

392-735-833

393-524-655

396-403-565

396-528-660

396-672-780

396-847-935

399-468-615

399-532-665

400-430-580

400-561-689

400-750-850

402-536-670

405-540-675

406-792-890

407-524-745

408-506-650

408-544-680

408-765-867

408-819-915

411-548-685

414-448-610

414-552-690

416-612-740

416-780-884

417-556-695

420-441-609

420-513-663

420-560-700

420-637-763

420-675-795

420-832-932

420-851-949

423-564-705

424-795-901

425-660-785

426-568-710

428-455-697

429-460-629

429-572-715

429-700-821

429-728-865

429-880-918

432-495-657

432-576-720

432-665-793

432-810-918

435-580-725

438-584-730

440-462-638

440-525-685

440-825-935

441-588-735

444-592-740

447-596-745

448-720-848

448-840-952

450-544-706

450-600-750

451-780-901

453-604-755

455-504-679

456-608-760

456-650-794

456-855-969

459-612-755

460-483-667

462-616-770

462-784-910

464-777-905

464-870-986

465-620-775

468-595-757

468-624-780

471-628-785

473-864-985

474-632-790

475-840-965

476-480-676

476-765-901

477-636-795

480-504-696

480-550-730

480-640-800

480-693-843

480-728-872

480-836-864

481-600-769

483-644-805

483-720-867

486-648-810

489-652-815

492-656-820

495-660-825

495-840-975

498-664-830

500-525-725

501-668-835

504-550-746

504-672-840

504-703-865

504-810-954

507-676-845

510-680-850

510-792-956

513-684-855

516-688-860

519-492-865

520-546-754

520-576-776

520-765-925

522-696-870

522-760-922

525-700-875

528-605-803

528-630-822

528-704-880

531-708-885

532-624-820

533-756-925

534-712-890

540-567-783

540-629-829

540-720-900

540-819-981

543-724-905

546-728-910

549-732-915

552-736-920

555-572-797

555-740-925

558-744-930

560-588-812

560-684-884

560-702-898

561-748-935

564-752-940

567-756-945

570-760-950

573-764-955

576-660-876

576-768-960

579-772-965

580-609-841

580-741-941

582-776-970

585-648-873

585-780-975

588-784-980

591-788-985

594-608-950

594-792-990

595-600-845

597-796-995

600-630-870

600-800-1000

612-759-975

615-728-953

616-663-905

616-735-959

620-651-899

621-672-915

624-715-949

640-672-928

650-720-970

660-693-957

680-714-986

696-697-985

 

 


B) ARITMETICA

 

7) SUI QUADRATI DEI NUMERI INTERI

Esiste una correlazione tra i quadrati in successione e i numeri dispari, la quale è la seguente: partendo da 0, tutti i quadrati successivi si ottengono, aggiungendo ad esso i vari numeri dispari in successione.

Il quadrato di un numero n è uguale alla somma dei primi n numeri dispari. Ossia:

il quadrato di 3 è uguale alla somma dei primi 3 numeri dispari: 1+3+5=9;

il quadrato di 5 è uguale alla somma dei primi 5 numeri dispari:1+3+5+7+9=25;

il quadrato di 9 è uguale alla somma dei primi 9 numeri dispari: 1+3+5+7+9+11+13+15+17=81.

Se bisogna trovare i quadrati di più numeri consecutivi, basta aggiungere ogni volta il numero dispari successivo della serie, come qui appresso.

Volendo trovare i quadrati dei numeri da 1 a 10, abbiamo:

12 =0 + 1 (primo numero dispari) = 1;

22 =1 + 3 (secondo numero dispari) = 4;

32 = 4 + 5 (terzo numero dispari) = 9;

42 = 9 + 7 (quarto numero dispari) = 16;

52 = 16 + 9 (quinto numero dispari) = 25; ecc…

- Conoscendosi n e il suo quadrato, è semplice conoscere qual è stato il numero dispari più grande della serie di numeri dispari, la cui somma ha dato luogo al quadrato. Infatti, esso si ottiene, moltiplicando n per 2 e sottraendo al prodotto 1.

Se sappiamo che il quadrato di 40 è 1600, sappiamo anche che è stata la somma dei primi 40 numeri dispari a dar luogo a 1600, il più grande dei quali è stato: 40·2-1=79. Per cui, se volessimo trovare il quadrato di 41, basterebbe aggiungere a 1600 il successivo numero dispari, che è 81, (1600+81=1681). Se invece volessimo trovare il quadrato di 39, basterebbe sottrarre da 1600 il numero dispari più grande, che è 79, (1600-79=1521).

- Da ciò possiamo dedurre che, tutte le volte che dobbiamo trovare il quadrato dei numeri come 51 e 49, ci conviene trovare prima il quadrato di 50 (2500). Dopo aggiungiamo 101 (2601) per trovare il quadrato di 51 o sottraiamo 99 (2401) per trovare il quadrato di 49.

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri dispari, a partire dal quadrato 1, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli, come appresso:

1 (quadrato di 1) + 8 = 9 (quadrato di 3) + 16 = 25 (quadrato di 5) + 24 = 49 (quadrato di 7) + 32 = 81 (quadrato di 9) + 40 = 121 (quadrato di 11) + 48 = 169 (quadrato di 13); ecc…

- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri pari, a partire dal quadrato di 2, ossia 4, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli aumentati di 4, come appresso:

4 (quadrato di 2) + 12 (8+4) = 16 (quadrato di 4) + 20 (16+4) = 36 (quadrato di 6) + 28 (24+4) = 64 (quadrato di 8) + 36 (32+4) = 100 (quadrato di 10) + 44 (40+4) = 144 (quadrato di 12) + 52 (48+4) = 196 (quadrato di 14); ecc…

b) Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di due cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.

Se a e b sono rispettivamente le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n2 =a2 · 100 + 2ab · 10 + b2

Così, dovendo trovare il quadrato di 56, applicando la formula, avremo:

562 =52 · 100 + 2 · 5 · 6 · 10 + 62 =

Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di tre cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.

Se a, b e c sono rispettivamente le centinaia, le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:

n2=a2 · 10000+2ab · 1000+2ac · 100+b2 · 100+2bc · 10+c2 

Così, dovendo trovare il quadrato di 125, applicando la formula, avremo:

125 = 12·10.000 + 1·2·2·1000 + 1·5·2·100 +

+ 2·5·2·10 + 22·100 + 52 =  10.000 + 4000 + 1000 + +400+200+25=15.625

c) Se si conoscono il prodotto di due numeri ab (a il maggiore e b il minore), i loro quadrati a2 e b2, la loro differenza (a-b) oppure la loro somma (a+b), si hanno come formule:

- la loro somma è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la  loro differenza: a+b=(a2 - b2) : (a-b);

- la loro differenza è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro somma: a-b=(a2 - b2) : (a+b);

- il numero maggiore è dato dalla differenza tra il suo quadrato e il loro prodotto diviso la loro differenza: a=a2 – ab : (a-b);

- il numero minore è dato dalla differenza tra il loro prodotto e il suo quadrato diviso la loro differenza: b=ab-b2 : (a-b).

In pratica, avremo:

Se il prodotto dei due numeri consecutivi a e b è 12 e i loro rispettivi quadrati sono 16 e 9, nonché si conosce la loro differenza 1 oppure la loro somma 7, applicando le formule, avremo:

a+b=(a2 - b2) : (a-b)=(16-9) : 1=7 : 1 =7;

a-b=(a2 - b2) : (a-b)=(16-9) : 7=7 : 7 =1;

a=a2-ab : (a-b)=16-12=4;

b=ab-b2 : (a-b)=(12-9) : 1 = 3 : 1 =3

Inoltre, il prodotto dei due numeri è medio proporzionale tra i due quadrati: a2 : ab = ab : b2. Perciò avremo:16 : 12 = 12 : 9.

8) RADICE DEI QUADRATI DEI NUMERI DA 11 A 99

Per trovare la radice del quadrato di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che, se il quadrato termina con 1, come unità della radice si avrà 1 o 9, se il quadrato termina con 4, come unità della radice si avrà 2 o 8; se il quadrato termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6; se il quadrato termina con 5, come unità della radice si avrà 5. Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.

1) si staccano nel quadrato due cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime due, come appresso: 256 diventa 2'56; 1156 diventa 11'56.

2) si vede qual è il quadrato più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 2 e in 11. Così conosceremo anche le decine della radice dei quadrati in questione. Come possiamo renderci conto, 1 è il quadrato più grande che è contenuto nel 2, per cui la sua radice è 1; mentre 9 è il quadrato più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 3.

3) siccome 256 termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Allora bisognerà moltiplicare la radice delle decine (1) per il suo successivo (2). Se il prodotto è contenuto nella prima parte del quadrato (2), si avrà 6; se invece non è contenuto, si avrà 4. Nel nostro caso, il 2 (1·2) è contenuto nel 2, per cui la radice delle unità sarà 6. Quindi, avremo che la radice quadrata di 256 è 16.

Se consideriamo 1156, terminando esso con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Moltiplicando la radice delle decine (3) per il suo successivo (4), avremo come prodotto 12. Siccome esso non è contenuto nell'11, la radice delle unità sarà 4. Quindi, avremo che la radice quadrata di 1156 è 34.

Altri esempi:

Se il quadrato è 121 (1'21), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome il 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 1. Quindi la radice quadrata di 121 è 11.

Se il quadrato è 361 (3'61), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome 2 (1·2) è contenuto nel 3, la radice delle unità è 9. Quindi, la radice quadrata di 361 è 19.

Se il quadrato è 324 (3'24), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome il 2 (1·2) è contenuto nell'3, la radice delle unità è 8. Quindi la radice quadrata di 324 è 18.

Se il quadrato è 144 (1'44), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 2. Quindi, la radice quadrata di 144 è 12.

Se il quadrato è 625 (6'25), la radice delle decine (6) è 2. Terminando esso con 5, la radice delle unità può essere solo 5. Quindi, la radice quadrata di 625 è 25.

9) RADICE DEI CUBI DEI NUMERI DA 11 A 99

Per trovare la radice del cubo di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che: a) 1 è il cubo di 1, 8 è il cubo di 2, 27 è il cubo di 3, 64 è il cubo di 4, 125 è il cubo di 5, 216 è il cubo di 6, 343 è il cubo di 7, 512 è il cubo di 8, 729 è il cubo di 9; b) se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:

se il cubo termina con 2, la radice delle unità sarà 8; se invece termina con 8, la radice delle unità sarà 2. Se il cubo termina con 3, la radice delle unità sarà 7, se invece termina con 7, la radice delle unità sarà 3.

Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.

1) si staccano nel cubo tre cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime tre, come appresso: 19683 diventa 19'683; 79507 diventa 79'507.

2) si vede qual è il cubo più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 19 e in 79. Così conosceremo anche le decine della radice dei cubi in questione. Come possiamo renderci conto, 8 è il cubo più grande che è contenuto nel 19, per cui la sua radice è 2; mentre 64 è il cubo più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 4.

3) Per conoscere la radice delle unità, basta rifarsi a quanto detto sopra, ossia: se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:

 se il cubo termina con 2, la radice delle unità sarà 8; se invece termina con 8, la radice delle unità sarà 2. Se il cubo termina con 3, la radice delle unità sarà 7, se invece termina con 7, la radice delle unità sarà 3. Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.

Nel caso che prendiamo in considerazione i cubi 19683 e 79507, le unità della radice cubica del primo quadrato sono 7, per cui la sua radice cubica risulta 27; mentre le unità della radice cubica del secondo cubo sono 3, per cui la sua radice cubica diventa 43.

10) MOLTIPLICAZIONI DIRETTE MEDIANTE IL GRAFICO

Per eseguire una moltiplicazione diretta bisogna memorizzare il grafico posto sulla sinistra (il grafico si ottiene, unendo ogni estremo superiore di una linea con gli estremi inferiori delle altre linee), tenendo presente: 1) ogni linea rappresenta un prodotto dato dai due fattori posti ai suoi estremi; 2) ogni pallino centrale indica un prodotto o la somma di due o più prodotti, a seconda delle linee che passano per esso; 3) alle somme centrali dei prodotti, come pure al prodotto finale, va aggiunto l'eventuale riporto.

 

23 ·

14 =

        ----------

        322

 

 

 

 

Nella moltiplicazione 23 · 14, avremo:

4 · 3 =12 (2 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 3 = 11 + 1 (riporto) = 12 (2 si scrive e 1 si riporta); 1 · 2 = 2 + 1 (riporto) = 3 (si scrive 3)

Risultato finale: 322

 

 

 

molt3

 

123 ·

243 =

     -------------

    29.889

 

molt4

1234 ·

2104 =

---------------2.596.336

 

 

 

Nella moltiplicazione 123 · 243, avremo:

3 · 3 = 9 (si scrive 9); 3 · 2 + 4 · 3 = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 3 · 1 + 2 · 3 + 4 · 2 = 17 + 1 (riporto) = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 2 · 1 = 2 (si scrive 2)

Risultato finale: 29.889

 

 

 

Nella moltiplicazione 1234 · 2104, avremo:

4 · 4 = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 4 · 3 + 0 · 4 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 4 + 0 · 3 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 4 + 1 · 3 + 0 · 2 =15 + 1 (riporto) = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 2 • 3 + 0 • 1 + 1 • 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 1 • 1 + 2 • 2 = 5 (si scrive 5); 2 • 1 = 2 (si scrive 2)

Risultato finale: 2.596.336

 

11) TABELLINE COME DIFFERENZE E PRODOTTI

Il risultato si una tabellina può essere ottenuto anche, senza imparare a memoria una parte di esse.  nel modo seguente:

1) le decine si ottengono, sottraendo ad uno dei due fattori il complementare del 10 dell'altro; mentre le unità si ottengono, moltiplicando i complementari del 10 dei due fattori (se sono più di 9, le decine in più si aggiungono alle altre decine). Sono chiamati complementari del 10 le coppie di numeri la cui somma dà 10, come: 1 e 9; 2 e 8; 3 e 7; 4 e 6; 5 e 5. Al riguardo, si fa presente che, se 1 è complementare di 9, anche 9 è complementare di1. La stessa cosa vale anche per le altre coppie.

Vediamo alcuni esempi:

Nella tabellina 9·7, le decine sono date da 9-3 (complementare di 7) = 6, oppure da 7-1 (complementare di 9) = 6; mentre le unità sono date da 1·3 (prodotto tra i complementari di 9 e di 7) = 3. Il risultato, quindi, è: 63.

Nella tabellina 8·7, le decine sono date da 8-3 (complementare di 7) = 5, oppure da 7-2 (complementare di 9) = 5; mentre le unità sono date da 2·3 (prodotto tra i complementari di 8 e di 7) = 6. Il risultato, quindi, è: 56.

Nella tabellina 8·6, le decine sono date da 8-4 (complementare di 6) = 4, oppure da 6-2 (complementare di 8) = 4; mentre le unità sono date da 2·4 (prodotto tra i complementari di 8 e di 6) = 8. Il risultato, quindi, è: 48.

Nella tabellina 7·6, le decine sono date da 7-4 (complementare di 6) = 3, oppure da 6-3 (complementare di 7) = 3; mentre le unità sono date da 3·4 (prodotto tra i complementari di 7 e di 6) = (1)2. (La decina, che avanza (1), va aggiunta alle altre 3 decine, diventando 4). Il risultato, quindi, è: 42. 

Nella tabellina 5·4, le decine sono date da 5-6 (complementare di 4) = -1, oppure da 4-5 (complementare di 5) = -1; mentre le unità sono date da 5·6 (prodotto tra i complementari di 5 e di 4) = (3)0. (Le decine, che avanzano (3), vanno aggiunte alle altre -1 decine, diventando 2). Il risultato, quindi, è: 20.

 

12) COMPLEMENTARI DI 100, 1000, 10.000, ECC...

Allo stesso modo, si comportano i complementari di 100, 1000, 10000, ecc..., per cui i prodotti di quei fattori prossimi a 100, 1000, 10000, ecc..., si possono ottenere facilmente, ricorrendo alle stesse due regole apprese con le tabelline, tenendo presente che i complementari del 100 sono 1 e 99, 2 e 98, 3 e 97, ecc...; quelli del 1000 sono 1 e 999, 2 e 998, 3 e 997, ecc...; quelli di 10000 sono 1 e 9999, 2 e 9998, 3 e 9997, ecc...

Esempi con i complementari del 100:

Nella moltiplicazione 98 · 97, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 98 - 3 (complementare di 97) = 95 oppure 97 - 2 (complementare di 98) = 95. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 2 · 3 = 6, ossia 06. Il risultato, quindi, è : 9.506.

Nella moltiplicazione 95 · 91, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 95 - 9 (complementare di 91) = 86 oppure 91 - 5 (complementare di 95) = 86. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 5 · 9 = 45. Il risultato, quindi, è: 8.645.

Nella moltiplicazione 89 · 89, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro, che in questo caso è uguale per entrambi: 89 - 11 (complementare di 89) = 78. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 11 · 11 = (1)21. (Il centinaio, che avanza (1), va aggiunto alle prime due cifre del risultato, diventando 79). Il risultato, quindi, è: 7.921.

Esempi con i complementari del 1000:

Nella moltiplicazione 999 · 998, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 999 - 2 (complementare di 998) = 997 oppure 998 - 1 (complementare di 999) = 997. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 1 · 2 = 2, ossia 002. Il risultato, quindi, è: 997.002.

Nella moltiplicazione 996 · 995, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 996 - 5 (complementare di 995) = 991 oppure 995 - 4 (complementare di 996) = 991. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 4 · 5 = 20, ossia 020. Il risultato, quindi, è: 991.020.

Nella moltiplicazione 990 · 989, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 990 - 11 (complementare di 989) = 979 oppure 989 - 10 (complementare di 990) = 979. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 10 · 11 = 110. Il risultato, quindi, è: 979.110.

Esempi con i complementari del 10.000:

Nella moltiplicazione 9994 · 9993, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9994 - 7 (complementare di 9993) = 9987 oppure 9993 - 6 (complementare di 9994) = 9987. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 6 · 7 = 42, ossia 0042. Il risultato, quindi, è: 99.870.042.

Nella moltiplicazione 9999 · 9991, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9999 - 9 (complementare di 9991) = 9990 oppure 9991 - 1 (complementare di 9999) = 9990. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 1 · 9 = 9, ossia 0009. Il risultato, quindi, è: 99.900.009.

Nella moltiplicazione 9990 · 9985, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9990 - 15 (complementare di 9985) = 9975 oppure 9985 - 10 (complementare di 9990) = 9975. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 10 · 15 = 150, ossia 0150. Il risultato, quindi, è: 99.870.042.

 

13) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 5

a) Se si moltiplicano due numeri terminanti con 5, il numero formato dalle ultime due cifre del prodotto sarà 25 o 75. Sarà 25, quando la somma dei due numeri che precedono il 5 è un numero pari; sarà invece 75, se è un numero dispari.

Esempio:

Se moltiplichiamo 25·45, il risultato avrà come ultime due cifre 25, poiché 2 + 4 = 6 (numero pari). Infatti, il risultato sarà: 1125.

Se moltiplichiamo 15·65, il risultato avrà come ultime due cifre 75, poiché 1 + 6 = 7 (numero dispari). Infatti, il risultato sarà: 975.

b) Per ottenere le restanti cifre del prodotto, quelle che precedono 25 o 75, bisogna moltiplicare tra loro i due numeri formati dalle cifre che precedono il 5 ed aggiungere al prodotto ottenuto la metà intera della somma degli stessi. Se la somma risulta un numero dispari, bisogna sottrarre ad essa una unità (1), prima di ricavare la metà.

Se moltiplichiamo 25·45, sapendo che il risultato avrà come ultime due cifre 25, per ottenere le cifre che precedono 25, bisogna moltiplicare 2 · 4 ed aggiungere al prodotto (8) la metà intera della loro somma, che è: (2 + 4) : 2 = 3. Quindi, premettendo 11 (8 + 3) a 25, avremo come risultato: 1125.

Se moltiplichiamo 15·65, sapendo che il risultato avrà come ultime due cifre 75, per ottenere le cifre che precedono 75, bisogna moltiplicare 1 · 6 ed aggiungere al prodotto (6) la metà intera della loro somma, che è: (1 + 6 -1) : 2 = 3. Quindi, premettendo 9 (6 + 3) a 75, avremo come risultato: 975.

 

14) MOLTIPLICAZIONI CON NUMERI COMPRESI TRA 11 E 19

Quando la moltiplicazione avviene tra due numeri, di cui uno è compreso tra 11 e 19, il prodotto si ottiene in questo modo: le unità si ricavano, moltiplicando le unità tra di loro (se ci sono anche decine, queste si riportano). Le altre cifre sono date dal numero ottenuto, aggiungendo al fattore maggiore: 1) l'eventuale riporto; 2) il risultato ottenuto, moltiplicando le decine del fattore maggiore con le unità del fattore minore.

Ecco alcuni esempi:

Se moltiplichiamo17·15, per ottenere le unità, si moltiplicano 7 · 5 = (3)5 (3 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 17 (fattore maggiore) prima il riporto 3 (17 + 3 = 20) e poi il risultato di 1 ·  5 = 5 (20 + 5 = 25). Per cui il risultato finale sarà: 255.

Se moltiplichiamo 27·12, per ottenere le unità, si moltiplicano 7 · 2 = (1)4 (1 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 27 (fattore maggiore) prima il riporto 1 (27 + 1 = 28) e poi il risultato di 2 ·  2 = 4 (28 + 4 = 32). Per cui il risultato finale sarà: 324.

Se moltiplichiamo 31·15, per ottenere le unità, si moltiplicano 1 · 5 = 5; il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 31 (fattore maggiore) il risultato di 3 ·  5 = 15 (31+ 15 = 46). Per cui il risultato finale sarà: 465.

Se moltiplichiamo 99·14, per ottenere le unità, si moltiplicano 9 · 4 = (3)6 (3 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 99 (fattore maggiore) prima il riporto 3 (99 + 3 = 102) e poi il risultato di 9 ·  4 = 36 (102 + 36 = 138). Per cui il risultato finale sarà: 1.386.

Se moltiplichiamo 108·12, per ottenere le unità, si moltiplicano 8 · 2 = (1)6 (1 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 108 (fattore maggiore) prima il riporto 1 (108 + 1 = 109) e poi il risultato di 10 ·  2 = 20 (109 + 20 = 129). Per cui il risultato finale sarà: 1.296.

Se moltiplichiamo 219·13, per ottenere le unità, si moltiplicano 9 · 3 = (2)7 (2 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 219 (fattore maggiore) prima il riporto 2 (219 + 2 = 221) e poi il risultato di 21 ·  3 = 63 (221 + 63 = 284). Per cui il risultato finale sarà: 2.847.

Comunque, le moltiplicazioni per 11 possiamo ottenerle, come viene spiegato di seguito:

Se dobbiamo moltiplicare 11 per il numero n, le unità del prodotto restano quelle di n; mentre le cifre precedenti sono date dal numero formato da n più il numero che precede le unità di n.

Dovendo moltiplicare 525 · 11, come unità avremo 5; mentre le cifre precedenti sono date da 525+52, ossia 577. Per cui il risultato sarà: 5775.

Dovendo moltiplicare 47 · 11, come unità avremo 7; mentre le cifre precedenti sono date da 47+4, ossia 51. Per cui il risultato sarà: 517.

 

15) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 1

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 1, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 1. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori 10 e i due numeri che precedono le unità, più la somma di questi due ultimi fattori. Esempi:

Se moltiplichiamo 31·21, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 3 · 2 + (3 + 2)= = 60 + 5 = 65. Infatti, il risultato è: 651.

Se moltiplichiamo 41·41, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 4 + (4 + 4)= = 160 + 8 = 168. Infatti, il risultato è: 1.681.

Se moltiplichiamo 701·31, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 70 · 3 + (70 + 3) = 2.100 + 73 = 2.173. Infatti, il risultato è: 21.731.

 

16) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 9

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 9, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 1. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori 10 e i due numeri che precedono il 9 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori.

Esempi:

Se moltiplichiamo 39·29, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 ·4 · 3 - (4 + 3) = 120 - 7 = 113. Quindi, il risultato è: 1.131.

Se moltiplichiamo 49·49, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 5 - (5 + 5) = = 250 - 10 = 240. Quindi, il risultato è: 2.401.

Se moltiplichiamo 709·39, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 71 · 4 - (71 + 4) = 2840 - 75 = 2.765. Quindi, il risultato è: 27.651.

Se moltiplichiamo 59·29, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 3 - (6 + 3) = 180 - 9 = 171. Quindi, il risultato è: 1.711.

 

17) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 2

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 2, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 4. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 2, più la somma di questi ultimi due fattori raddoppiati. Esempi:

Se moltiplichiamo 12·12, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (2 + 2) =10 + 4 = 14. Quindi, il risultato è: 144.

Se moltiplichiamo 42·22, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 2 + (8 + 4) =80 + 12 = 92. Quindi, il risultato è: 924.

Se moltiplichiamo 52·32, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 + (10 + 6)= 150 + 16 = 166. Quindi, il risultato è: 1.664.

 

18) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 8

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 8, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 4. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono l'8 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori raddoppiati. Esempi:

Se moltiplichiamo 18·18, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (4 + 4)= =40 - 8 = 32. Quindi, il risultato è: 324.

Se moltiplichiamo 48·28, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 - (10 + 6)= 150 - 16 = 134. Quindi, il risultato è: 1.344.

Se moltiplichiamo 98·38, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 10 - (20 + 8) =400 - 28 = 372. Quindi, il risultato è: 3.724.

 

19) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 3

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 3, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 9. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 3, più la somma di questi ultimi due fattori triplicati. Esempi:

Se moltiplichiamo 13·13, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (3 + 3)= =10 + 6 = 16. Quindi, il risultato è: 169.

Se moltiplichiamo 43·13, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 1 + (12 + 3) =40 + 15 = 55. Quindi, il risultato è: 559.

Se moltiplichiamo 53·23, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 2 + (15 + 6) =100 + 16 = 116. Quindi, il risultato è: 1.669.

 

20) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 7

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 7, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 9. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 7 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori triplicati. Esempi:

Se moltiplichiamo 17·17, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (6 + 6) =40 - 12 = 28. Quindi, il risultato è: 289.

Se moltiplichiamo 37·17, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 2 - (12 + 6) =80 - 18 = 62. Quindi, il risultato è: 629.

Se moltiplichiamo 47·27, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 - (15 + 9) =150 - 24 = 126. Quindi, il risultato è: 1269.

 

21) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 4

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 4, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 6. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 4, più la somma di questi ultimi due fattori quadruplicati, più l'unità. Esempi:

Se moltiplichiamo 14·14, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (4 + 4 + 1) =10 + 9 = 19. Quindi, il risultato è: 196.

Se moltiplichiamo 34·24, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 3 · 2 + (12 + 8 +1) =60 + 21 = 81. Quindi, il risultato è: 816.

Se moltiplichiamo 64·44, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 4 + (24 + 16 +1) =240 + 41 = 281. Quindi, il risultato è: 2.816.

 

22) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 6

Se si moltiplicano due numeri terminanti con 6, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 6. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 6 aumentati di una unità, meno la somma degli ultimi due fattori quadruplicati diminuita di una unità.

Esempi:

Se moltiplichiamo 16·16, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (8 + 8 - 1) =40 - 15 = 25. Quindi, il risultato è: 256.

Se moltiplichiamo 56·26, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 3 - (24 + 12 -1) =180 - 35 = 145. Quindi, il risultato è: 1.456.

Se moltiplichiamo 76·66, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 8 · 7 - (32 + 28 - 1) =560 - 59 = 501. Quindi, il risultato è: 5.016.

 

23) REGOLA RIEPILOGATIVA DELLE MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI CHE TERMINANO CON 1, 9, 2, 6, 3, 7, 4, 6.

Se si moltiplicano due numeri terminanti entrambi con 1 o 9, con 2 o 8, con  3 o 7, con 4 o 6, le unità risultano 1 (nel caso di 1 e 9), 4 (nel caso di 2 e 8), 9 (nel caso di 3 e 7), 6 (nel caso di 4 e 6).

Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è dato da un'addizione (se i due fattori terminano con 1, 2, 3, 4) o da una sottrazione (se i due fattori  terminano con 9, 8, 7, 6).

Il primo addendo dell'addizione è dato dal prodotto avente come fattori il 10 e i due numeri che precedono le unità 1, 2, 3, 4; mentre il secondo addendo è dato dalla somma unitaria, doppia, tripla o quadrupla dei due fattori diversi da 10, secondo che le unità siano 1, 2, 3 o 4 (nel caso di 4, alla quadrupla somma si aggiunge 1).

Il minuendo della sottrazione è dato dal prodotto avente come fattori il 10 e i due numeri che precedono le unità 9, 8, 7 6, ciascuno aumentato di 1; mentre il sottraendo è dato dalla somma unitaria, doppia, tripla o quadrupla dei due fattori diversi da 10, secondo che le unità siano 9, 8, 7 o 6, che sono rispettivamente i complementari di 1, 2, 3 e 4 (nel caso di 6, alla quadrupla somma si aggiunge 1)

 

24) MOLTIPLICAZIONI PER 5

Per moltiplicare un numero per 5, basta dividerlo per 2. Se il risultato è un numero intero, bisogna aggiungere ad esso uno 0; se invece è un numero decimale, bisogna considerarlo senza la virgola.

Esempi:

4 · 5 = 2 con l'aggiunta dello 0, ossia 20

7 · 5 = 3,5 senza la virgola, ossia 35

36 · 5 = 18 con l'aggiunta dello 0, ossia 180

15 · 5 = 7,5 senza la virgola, ossia 75.

La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 5.

 

25) MOLTIPLICAZIONI PER 9

Se si moltiplica un numero per 9, il prodotto avrà come unità il complementare della cifra finale del numero stesso. Invece le cifre precedenti sono date dal numero che si ottiene, sottraendo ad esso il numero formato dalle sue cifre, senza considerare quella finale, più l'unità. Nei numeri da 1 a 9, tale numero da sottrarsi corrisponde a 0, che, con l'aggiunta di 1, diventa 1. Non si aggiunge 1, quando il numero termina con 0.

Esempi:

- Nel prodotto 3 · 9 = 03 · 9, come cifra finale, abbiamo 7, complementare di 3; mentre la cifra precedente è data da 3 – 1 (0+1), ossia 2. Perciò il risultato è 27.

Nel prodotto 10 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 10 – 1 (1+0), ossia 9. Perciò il risultato è 90.

- Nel prodotto 14 · 9, come cifra finale, abbiamo 6, complementare di 4; mentre la cifra precedente è data da 14 – 2 (1+1), ossia 12. Perciò il risultato è 126.

Nel prodotto 20 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 20 – 2 (2+0), ossia 18. Perciò il risultato è 180.

- Nel prodotto 135 · 9, come cifra finale, abbiamo 5, complementare di 5; mentre la cifra precedente è data da 135 – 14 (13+1), ossia 121. Perciò il risultato è 1215.

Nel prodotto 160 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 160 – 16 (16+0), ossia 144. Perciò il risultato è 1440.

La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 9.

 

26) MOLTIPLICAZIONI PER 6

Il prodotto di un numero moltiplicato per 6, sarà uguale alle decine della sua metà più il numero stesso.

Esempi:

- Nel prodotto 8 · 6, il risultato è uguale alle decine di 8 : 2 (4=40) più 8. Per cui abbiamo: 40 + 8 = 48.

Nel prodotto di 9 · 6, il risultato è uguale alle decine di 9 : 2 (4,5=45) più 9. Per cui abbiamo: 45 + 9 = 54.

- Nel prodotto 24 · 6, il risultato è uguale alle decine di 24 : 2 (12=120) più 24. Per cui abbiamo: 120 + 24 = 144.

Nel prodotto 43 · 6, il risultato è uguale alle decine di 43 : 2 (21,5=215) più 43. Per cui abbiamo: 215 + 43 = 258.

- Nel prodotto 412 · 6, il risultato è uguale alle decine di 412 : 2 (206=2060) più 412. Per cui abbiamo: 2060 + 412 = 2472.

Nel prodotto 625 · 6, il risultato è uguale alle decine di 625 : 2 (312,5=3125) più 625. Per cui abbiamo: 3125 + 625 = 3750.

La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 6.

 

27) MOLTIPLICAZIONI PER 8

Il prodotto di un numero moltiplicato per 8 sarà uguale al numero che ha per unità la doppia differenza tra 5 e le unità del numero stesso (se termina con 1, 2, 3, 4, 5) oppure tra 10 e le unità del numero stesso (se termina con 6, 7, 8, 9). Mentre le cifre che precedono le unità sono date dalla differenza tra il numero stesso e il doppio del numero che precede le unità. A quest'ultimo va aggiunto 1, se il numero termina con 1, 2, 3, 4, 5; va aggiunto 2, se termina con 6, 7, 8, 9; non va aggiunto niente, se termina con 0.

Esempi:

- Nel prodotto 4 · 8, le unità sono: 2 · (5-4) = 2; mentre il numero precedente è: 4 – (2·0+1) = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 32.

- Nel prodotto 7 · 8, le unità sono: 2 · (10-7) = 6; mentre il numero precedente è: 7 – (2·0+2) = 7 – 2 = 5. Quindi, il risultato è 56.

- Nel prodotto 13 · 8, le unità sono: 2 · (5-3) = 4; mentre il numero precedente è: 13 – (2·1+1) = 13 – 3 = 10. Quindi, il risultato è 104.

- Nel prodotto 168 · 8, le unità sono: 2 · (10-8) = 4; mentre il numero precedente è : 168 – (2·16+2) = 168 – 34 = 134. Quindi, il risultato è 1344.

La regola può applicarsi, al posto della tabellina dell'8.

 

28) MOLTIPLICAZIONI PER 7

a) Il prodotto di un numero pari per 7 è uguale al numero avente come unità il suo doppio e come restanti cifre la sua metà più l'eventuale riporto.

Esempi:

- Nel prodotto 4 · 7, le unità sono: 2 · 4 = 8; mentre le restanti cifre sono: 4 : 2 = 2. Quindi, il risultato è 28.

- Nel prodotto 8 · 7, le unità sono: 2 · 8 = 16 (6 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 8 : 2 + 1 = 5. Quindi, il risultato è 56.

- Nel prodotto 32 · 7, le unità sono: 2 · 32 = (4 unità e 6 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 32 : 2 + 6 = 22. Quindi, il risultato è 224.

b) Il prodotto di un numero dispari per 7 è uguale al numero avente come unità il suo doppio più 5 e come restanti cifre la sua metà per difetto più l'eventuale riporto. Esempi:

- Nel prodotto 9 · 7, le unità sono: 2 · 9 + 5 = 23 (3 unità e 2 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 9 : 2 = 4 + 2 = 6. Quindi, il risultato è 63.

  - Nel prodotto 27 · 7, le unità sono: 27 · 2 + 5 = 59 (9 unità e 5 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 27 : 2 = 13 + 5 = 18. Quindi, il risultato è 189.

Le due regole possono applicarsi, al posto della tabellina del 7.

 

29) MOLTIPLICAZIONI PER 4

a) Il prodotto di un numero pari per 4 è uguale al numero avente come unità il complementare di 10 delle unità e come restanti cifre la sua metà meno il numero che precede le unità aumentato di 1.

Esempi:

- Nel prodotto 8 · 4, le unità sono: 10 – 8 = 2; mentre le restanti cifre sono: 8 : 2 - (0+1) = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 32.

- Nel prodotto 44 · 4, le unità sono: 10 – 4 = 6; mentre le restanti cifre sono: 44 : 2 – (4+1) = 22 – 5 = 17. Quindi, il risultato è 176.

b) Il prodotto di un numero dispari per 4 è uguale al numero avente come unità il complementare di 10 delle unità aumentato di 5 e come restanti cifre la metà per difetto del numero aumentato del riporto meno il numero che precede le unità aumentato di 1.

Esempi:

- Nel prodotto 9 · 4, le unità sono: 10 – 9 + 5 = 6; mentre le restanti cifre sono: 9 : 2 – 1 = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 36.

- Nel prodotto 5 · 4, le unità sono: 10 – 5 + 5 = 10 (0 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: (5+1) : 2 – 1 = 6 : 2 – 1 = 3 – 1 = 2. Quindi, il risultato è 20.

- Nel prodotto 17 · 4, le unità sono: 10 – 7 + 5 = 8; mentre le restanti cifre sono: 17 : 2 – (1+1) = 8 – 2 = 6. Quindi, il risultato è 68.

- Nel prodotto 123 · 4, le unità sono: 10 – 3 + 5 = 12 (2 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: (123+1) : 2 – (12+1) = 62 – 13 = 49. Quindi, il risultato è 492.

Le due regole possono applicarsi, al posto della tabellina del 4.