LA MIA MATEMATICA
A) GEOMETRIA
1) Nuovi Teoremi sul Triangolo Rettangolo
2) Risoluzione algebrica del teorema di Pitagora
3) Teoremi geometrici al posto di Equazioni di II grado
4) Teorema sulle proiezioni dei cateti
5) Terne Pitagoriche Primitive e multiple: come ottenerle
6) Terne pitagoriche entro il 1000
B) ARITMETICA
7) Dai multipli del 6 ai numeri primi
8) Sui Quadrati dei numeri
9) Il Mediano e i suoi Simmetrici
10) Radice dei quadrati dei numeri da 11 a 99
11) Radice dei cubi dei numeri da 11 a 99
12) Moltiplicazioni dirette mediante il grafico
13) Tabelline come prodotti e differenze
14) Complementari di 10, 100, 1000, 10000, ecc...
15) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 5
16) Moltiplicazioni con numeri compresi tra 11 e 19
17) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 1
18) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 9
19) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 2
20) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 8
21) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 3
22) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 7
23) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 4
24) Moltiplicazioni tra due fattori terminanti con 6
25) Regola riepilogativa delle moltiplicazioni tra due fattori che terminano con 1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6
26) Moltiplicazioni per 5
27) Moltiplicazioni per 9
28) Moltiplicazioni per 6
29) Moltiplicazioni per 8
30) Moltiplicazioni per 4
31) Nuovo Sistema Numerico in Lettere
32) I Numeri: dalle Unità ai Miliardi
33) Numeri oltre i Miliardi
34) Nomi dei Multipli e dei Sottomultipli delle Potenze del 10
35) Sistema Metrico Decimale
36) Tabella delle potenze del 10 fino all'esponente 1000
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A) GEOMETRIA
1) Nuovi teoremi sul triangolo rettangolo
Teorema 1
Il rettangolo costruito sui cateti AB e BC, ossia ABCD, è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BF e il lato del quadrato BH, ossia BFGH. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con l il lato e con d la diagonale del quadrato o bisettrice del triangolo rettangolo, avremo:
ABCD ~ BFGH; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti BC (a) e BA (b) misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto l e la
diagonale d.
Nel triangolo rettangolo ABC, l'area misura 294 cm² e il lato del
quadrato misura 12 cm. Calcolare la somma dei cateti.
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e il lato del
quadrato misura 12 cm. Calcolare l'area.
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm e l'area misura 294 cm². Calcolare il lato del quadrato e la sua diagonale.
Il
rettangolo costruito sulle differenze tra ogni cateto e il lato del quadrato,
ossia LRDP, è equivalente al quadrato inscritto nel triangolo, ossia
BHLM. Ciò vuol dire che il lato del quadrato è medio proporzionale tra tali
differenze AH e CM. Per cui, indicandole con x (la minore)
e con y (la maggiore), avremo:
LRDP ~ BHLM; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, x e y misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Calcolare il lato del quadrato inscritto.
Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e y misura 16
cm. Calcolare la misura di x.
Nel triangolo rettangolo ABC, il lato del quadrato misura 12 cm e x misura 9 cm.
Calcolare la misura di y.
Teorema 3
Il rettangolo costruito sulla somma dei cateti (BC+ BA) e la somma delle loro differenze (HA+MC) è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa AC. Ciò vuol dire che l’ipotenusa è media proporzionale tra tali somme. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con c l’ipotenusa, con x e y rispettivamente la differenza minore e quella maggiore, avremo:
BC+BA) · (AH+CM) ~ AC · AC; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre y e x
misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare l'ipotenusa.
Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma di y + x misura 25
cm. Calcolare la somma dei cateti.
Nel triangolo ABC, l'ipotenusa misura cm 35, mentre la somma dei cateti misura
49 cm. Calcolare la somma di y + x.
Teorema 4
Il
quadrato di ciascun cateto è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei
cateti BC+BA e la relativa differenza AH o CM. Per
cui, indicando con a e b rispettivamente il cateto maggiore e
quello minore, con c l’ipotenusa, con x e y la differenza
minore e quella maggiore, avremo:
(BC+BA) · MC ~ BC²; da cui:
PROBLEMA
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm. Calcolare le misure di x e di y.
Teorema 5
Ogni
cateto è medio proporzionale tra la somma dei cateti e la relativa differenza.
Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore, con x e y la
differenza minore e quella maggiore, avremo:
(BC+BA) · HA ~ BA²; da cui:
PROBLEMA
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, mentre y e x
misurano rispettivamente 16 cm e 9 cm. Calcolare i cateti.
Teorema 6
Il
rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC
è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA
e la parte minore dell’ipotenusa che viene divisa dalla bisettrice, ossia LA.
Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello minore,
con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore dell’ipotenusa,
avremo:
BA · AC ~ (BC+BA) · LA; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di v.
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa misura 35 cm, mentre v misura 15 cm. Calcolare il cateto minore.
Teorema 7
Il
rettangolo costruito sul cateto maggiore, ossia BC, e l’ipotenusa AC
è equivalente al rettangolo costruito sulla somma dei cateti BC+BA
e la parte maggiore dell’ipotenusa che viene divisa dalla bisettrice, ossia
LC. Per cui, indicando con a e b il cateto maggiore e quello
minore, con c l’ipotenusa e con z il segmento maggiore, avremo:
BC · AC ~ (BC+BA) · LC; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti a e b misurano rispettivamente 28 cm e 21 cm, mentre l'ipotenusa misura 35 cm. Calcolare la misura di z.
Nel triangolo rettangolo ABC, la somma dei cateti misura 49 cm, l'ipotenusa
misura 35 cm, mentre z misura 20 cm. Calcolare il cateto maggiore.
Teorema 8
Il rettangolo costruito sul cateto minore BA e il lato del quadrato BM, ossia ABMR, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e la differenza tra il cateto minore e il lato del quadrato AH, ossia AHPD. Perciò avremo:
ABMR = AHPD; da cui:
Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto minore misura 21 cm e x misura 9 cm. Calcolare il cateto maggiore.
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato
del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di x.
Teorema 9
Il rettangolo costruito sul cateto maggiore BC e il lato del quadrato BH, ossia HBCP, è equivalente al rettangolo costruito sul cateto minore AB e la differenza tra il cateto maggiore BC e il lato del quadrato BM, ossia CDRM. Perciò avremo:
HBCP = CDRM ; da cui:
PROBLEMI
Nel triangolo rettangolo ABC, il cateto maggiore misura 28 cm e y misura 16 cm. Calcolare il cateto minore.
Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti misurano 28 cm e 21 cm, mentre il lato del quadrato inscritto misura 12 cm. Calcolare la misura di y.
2) RISOLUZIONE ALGEBRICA DEL TEOREMA DI PITAGORA
1) In algebra si è studiato il seguente prodotto notevole:
(a-b)2 = a2 + b2 - 2ab; da cui:
2ab + (a-b)2 = a2 + b2
dove:
a e b = cateto maggiore e cateto minore;
2ab= doppio rettangolo costruito sui cateti o doppio prodotto dei cateti;
ab= rettangolo costruito sui cateti o prodotto dei cateti;
(a-b)2 = quadrato della differenza dei cateti;
a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa, in quanto somma dei quadrati dei due cateti;
ma dalla seconda uguaglianza sopra riportata, si deduce che il quadrato dell'ipotenusa è dato anche da:
2ab + (a-b)2
Per cui l'ipotenusa è anche uguale al doppio prodotto dei cateti più il quadrato della loro differenza.
Comunque, geometricamente parlando, possiamo dire che il quadrato dell'ipotenusa è equivalente al doppio rettangolo costruito sui cateti più il quadrato costruito sulla differenza degli stessi.
Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa, avremo:
Ma abbiamo anche:
Se abbiamo a=12 e b=5, c sarà uguale a:
2) In algebra abbiamo ancora il seguente prodotto notevole:
a2-b2 = (a + b) · (a – b);
dove:
a e b = cateto maggiore e cateto minore;
(a + b) = somma dei cateti;
(a – b) = differenza dei cateti;
a2+b2 = quadrato dell'ipotenusa
Per il teorema di Pitagora, il quadrato di un cateto è uguale al quadrato dell'ipotenusa meno il quadrato dell'altro cateto.
Indicando con c l'ipotenusa, abbiamo:
a2 = c2 – b2; b2 = c2 – a2
Così, indicando con a, b, c rispettivamente il cateto maggiore, il cateto minore e l’ipotenusa e applicando il prodotto notevole sopra riportato, avremo:
a2 = (c + b) · (c – b);
b2 = (c + a) · (c – a);
Per cui il quadrato di un cateto è uguale al prodotto tra la somma dell'ipotenusa più l'altro cateto e la loro differenza.
In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto minore misura 7 cm, il cateto maggiore sarà uguale a:
In un triangolo rettangolo, se l'ipotenusa misura 25 cm e il cateto maggiore misura 7 cm, il cateto minore sarà uguale a:
3) TEOREMI GEOMETRICI AL POSTO DI SISTEMI DI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Nel triangolo rettangolo, alcuni problemi possono essere risolti, ricorrendo a teoremi geometrici ed evitando sistemi di equazione di secondo grado.
Il primo teorema è il seguente:
Il quadrato della somma dei cateti (a+b)² più quello della loro differenza (a-b)² danno il doppio quadrato dell’ipotenusa 2c².
La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:
1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 20 cm e la somma dei cateti misura 28 cm. Calcolare i cateti.
Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.
a = (28 + 4) : 2 = 32 : 2 = 16 cm
Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.
b = (28 - 4) : 2 = 24 : 2 = 12 cm2) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 17 cm e la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare i cateti.
Sommando poi la somma dei cateti e la loro differenza e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto maggiore.
a = (23 + 7) : 2 = 30 : 2 = 15 cm
Sottraendo poi la differenza dei cateti alla loro somma e dividendo per 2 il risultato, otteniamo il cateto minore.
b = (23 - 7) : 2 = 16 : 2 = 8 cm
3) In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti misura 31 cm e la differenza dei cateti misura 17 cm. Calcolare l’ipotenusa.
Il secondo teorema è il seguente:
Il doppio prodotto dei cateti 2ab più il quadrato della loro differenza (a-b)² danno il quadrato dell’ipotenusa.
La sua applicazione si ha nei seguenti tre problemi:
1) In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 5 cm e l’area misura 6 cm². Calcolare i due cateti.
Applicando il teorema 1, avremo la somma dei cateti:
Conoscendosi la loro somma e la loro differenza, come già visto, i cateti saranno:
a = (7 + 1) : 2 = 8 : 2 = 4 cm ;
b = (7 - 1) : 2 = 6 : 2 = 3 cm
In un triangolo rettangolo, l’ipotenusa misura 10 cm, mentre la differenza dei cateti misura 2 cm. Calcolare l’area.
A = (10² - 2²) : 4 = (100 – 4) : 4 = 96 : 4 = 24 cm²
3) In un triangolo rettangolo, l’area misura 30 cm², mentre la differenza dei cateti misura 7 cm. Calcolare l’ipotenusa c.
In un triangolo rettangolo, la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la somma e la differenza dei cateti.
CH2 – AH2 = (BC + AB) (BC - AB)
BC + AB = (CH2 – AH2) : (BC – AB)
BC - AB = (CH2 – AH2) : (BC + AB)
CH2 = (BC + AB) (BC - AB) + AH2
AH2 = CH2 - (BC + AB) (BC - AB)
PROBLEMI
1) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 40 cm e 30 cm. Calcolare la differenza dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
CH2 – AH2 = (BC+AB) (BC-AB) = (40+30) (40–30) = 70 ·10 = 700 cm2
2) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la somma dei cateti misura 70 cm. Calcolare i due cateti.
BC-AB =(CH2–AH2) : (BC+AB)=(322–182) : (40+30)=(1024–324) : 70=700 : 70=10 cm
BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40 cm
AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30 cm
3) In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misura 32 cm e 18 cm, mentre la differenza dei cateti misura 10 cm. Calcolare i due cateti.
BC + AB = (CH2 – AH2) : (BC - AB) = (322 – 182) : (40-30) = (1024 – 324) : 10 = 700 : 10 = 70 cm
BC= (70 + 10) : 2 = 80 : 2 = 40
AB = (70 – 10) : 2 = 60 : 2 = 30
4) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura 9 cm. Calcolare la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.
CH2=(BC+AB) (BC-AB)+AH2=(20+15)
(20-15) + 92
= 35 · 5 + 81 = 175+81 = 256; da cui:
radice q. di 256=16 cm
5) In un triangolo rettangolo, i cateti misurano 20 cm e 15 cm, mentre la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa misura 16 cm. Calcolare la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa.
AH2 = (BC+AB) (BC-AB) (BC+AB)
(BC-AB) + AH2 = (20+15) (20-15) + 92 = 35 · 5 + 81=
= 175 + 81 =
256; da cui:
radice q. di 256=16 cm
AH2 = CH2 - (BC+AB) (BC-AB) = 162 - (20+15)
(20-15) = 256-35 · 5 = 256-175 = 81;
da cui:
radice q. di 81=cm 9
Formano una terna pitagorica tre numeri interi, che rappresentano i lati di un triangolo rettangolo e soddisfano il teorema di Pitagora, nel senso che la somma dei quadrati dei due più piccoli è equivalente al quadrato del più grande. Comunque, siccome abbiamo visto che un lato di un triangolo rettangolo, conoscendo gli altri due, può essere trovato anche senza applicare il teorema di Pitagora, è improprio chiamarla terna pitagorica, anziché terna di un triangolo rettangolo.
Gli autori di testi di Geometria, nei problemi con applicazione del teorema di Pitagora, per avere risultati interi, ricorrono spesso a tali terne, che per lo più sono sempre le stesse, come le terne prime: 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 7, 24 e 25; 8, 15 e 17. Da ognuna di esse, si possono poi ricavare infinite terne multiple. Basta moltiplicare i loro tre numeri per uno stesso numero intero, a cominciare dal 2 fino all’infinito. Per questo ogni terna prima ha una infinità di terne multiple.
Esempio:
Dalla terna prima 3, 4 e 5, possiamo avere le terne multiple: 6, 8 e 10; 9, 12 e 15; 12, 16 e 20; 15, 20 e 25; 18, 24 e 30; 21, 28 e 35; 24, 32 e 40; 27, 36 e 45; 30, 40 e 50; 33, 44 e 55; ecc...
Anche le terne prime di un triangolo rettangolo sono infinite e si possono ricavare facilmente, applicando le due seguenti regole:
A) Se si parte da un numero dispari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:
Si ricavano dal cateto minore i due numeri consecutivi, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 3 si ricavano 1 e 2; dal numero 5 si ricavano 2 e 3; dal numero 7 si ricavano 3 e 4. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.
Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto di uno dei due numeri ricavati (conviene sempre raddoppiare il minore) per il doppio dell'altro; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 1.
Nel caso A), si hanno solo terne primitive.
Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:
Se il cateto minore è 3 (1+2), abbiamo:
cateto maggiore: 2 · 2 = 4
ipotenusa: 2 · 2 + 1 = 5
Se il cateto minore è 5 (2+3), abbiamo:
cateto maggiore: 4 · 3 = 12
ipotenusa: 4 · 3 + 1 = 13
Se il cateto minore è 7 (3+4), abbiamo:
cateto maggiore: 6 · 4 = 24
ipotenusa: 6 · 4 +1 = 25
B) Se si parte da un numero pari, che viene considerato cateto minore, abbiamo il seguente procedimento:
Si ricavano dal cateto minore i due numeri alternati, la cui somma dà il cateto stesso. Dal numero 4 si ricavano 1 e 3; dal numero 6 si ricavano 2 e 4; dal numero 8 si ricavano 3 e 5; dal numero 10 si ricavano 4 e 6; dal numero 12 si ricavano 5 e 7. La stessa cosa vale per tutti gli altri numeri dispari successivi.
Ebbene, il cateto maggiore è dato dal prodotto dei due numeri ricavati; mentre l'ipotenusa è data da tale prodotto più 2.
Nel caso B), si hanno sia terne primitive, cioè quelle ottenute da 4 e dai suoi multipli, sia terne derivate, cioè tutte le altre.
Così, per trovare il cateto maggiore e l'ipotenusa, si hanno le due seguenti espressioni aritmetiche:
Se il cateto minore è 4 (1+3), abbiamo:
cateto maggiore: 1 · 3 = 3
ipotenusa: 1 · 3 + 2 = 5
(Si tratta dell'unico caso in cui 4 risulta cateto maggiore, anziché cateto minore, poiché esso viene a coincidere con la terna ricavata dal numero dispari 3, il quale dà: 3-4-5)
Se il cateto minore è 6 (2+4), abbiamo:
cateto maggiore: 2 · 4 = 8
ipotenusa: 2 · 4 + 2 = 10
(terna multipla di 3-4-5)
Se il cateto minore è 8 (3+5), abbiamo:
cateto maggiore: 3 · 5 = 15
ipotenusa: 3 · 5 + 2 = 17
(terna primitiva)
Se il cateto minore è 10 (4+6), abbiamo:
cateto maggiore: 4 · 6 = 24
ipotenusa: 4 · 6 + 2 = 26
(terna multipla di 5-12-13)
Se il cateto minore è 12 (5+7), abbiamo:
cateto maggiore: 5 · 7 = 35
ipotenusa: 5 · 7 + 2 = 37
(terna primitiva)
Come possiamo osservare, se i due numeri alternati risultano dispari (solo nei multipli di 4), essi danno luogo ad una terna primitiva; se invece risultano pari, danno luogo ad una terna derivata).
C) Se di un triangolo rettangolo si conoscono i due cateti oppure il cateto minore e l'ipotenusa, per sapere se essi formano una terna pitagorica, bisogna procedere, come se stessimo ricavando dal cateto minore quello maggiore o l'ipotenusa. Se il procedimento ci porta allo stesso cateto maggiore noto o all'ipotenusa nota, essi formano una terna pitagorica.
Se i cateti sono 5 e 12, siccome 5 è uguale a 2+3 e il prodotto 4·3 dà 12, i cateti 5 e 12 fanno parte di una terna pitagorica.
Se 5 e 13 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 5 è uguale a 2+3 e il risultato di 4·3+1 dà 13, 5 e 13 fanno parte di una terna pitagorica.
Se i cateti sono 8 e 15, siccome 8 è uguale a 3+5 e il prodotto 3·5 dà 15, i cateti 8 e 15 fanno parte di una terna pitagorica.
Se 8 e 15 sono rispettivamente il cateto minore e l'ipotenusa, siccome 8 è uguale a 3+5 e il risultato di 3·5+2 dà 17, 8 e 17 fanno parte di una terna pitagorica.
D) Esiste una certa progressione aritmetica nelle terne primitive, siano esse derivate da numeri dispari o da numeri pari multipli di 4. La quale è la seguente:
Il cateto maggiore di una terna primitiva è dato dal cateto minore della terna più la somma dei cateti della precedente terna.
Esempi:
Se abbiamo la terna 3, 4 e 5, che è la terna ottenuta con 3, il cateto maggiore della terna di 5 si ottiene, aggiungendo a 5 la somma dei due cateti della terna di 3:
5+7 (3+4) = 12
Per ottenere l'ipotenusa, si aggiunge sempre una unità al cateto maggiore: 12+1=13.
Se abbiamo la terna 8, 15 e 17, che è la terna ottenuta con 8, il cateto maggiore della terna di 12 si ottiene, aggiungendo a 12 la somma dei cateti della terna di 8:
12+23 (8+15) = 35
Per ottenere l'ipotenusa, si aggiungono sempre due unità al cateto maggiore: 35+2=37.
Una
progressione di questo tipo ci permette di ottenere più velocemente le terne
primitive di più numeri in successione, senza ricorrere ogni volta alle due
regole riportate sopra, dopo che si è ottenuta la prima.
(Le terne pitagoriche in neretto sono primitive)
3-4-5 5-12-13 6-8-10 7-24-25 8-15-17 9-12-15 9-40-41 10-24-26 11-60-61 12-16-20 12-35-37 13-84-85 14-48-50 15-20-25 15-36-39 15-112-113 16-30-34 16-63-65 17-144-145 18-24-30 18-80-82 19-180-181 20-21-29 20-48-52 20-99-101 21-28-35 21-72-75 21-220-221 22-120-122 23-264-265 24-32-40 24-45-51 24-70-74 24-143-145 25-60-65 25-312-313 26-168-170 27-36-45 27-120-123 27-364-365 28-45-53 28-96-100 28-195-197 29-420-421 30-40-50 30-72-78 30-224-226 31-480-481 32-60-68 32-126-130 32-255-257 33-44-55 33-56-65 33-180-183 33-544-545 34-288-290 35-84-91 35-120-125 35-612-613 36-48-60 36-77-85 36-105-111 36-160-164 36-323-325 37-684-685 38-360-362 39-52-65 39-252-255 39-760-761 40-42-58 40-75-85 40-96-104 40-198-202 40-399-401 41-840-841 42-56-70 42-144-150 42-440-442 43-924-925 44-117-125 44-240-244 44-483-485 45-60-75 45-108-117 45-200-205 45-336-339 46-528-530 48-55-73 48-64-80 48-90-102 48-140-148 48-189-195 48-286-290 48-575-577 49-168-175 50-120-130 50-624-626 51-68-85 51-140-149 51-432-435 52-165-173 52-336-340 52-675-677 54-72-90 54-240-246 54-728-730 55-132-143 55-300-305 56-90-106 56-104-119 56-192-200 56-390-394 56-783-785 57-76-95 57-176-185 57-540-543 58-840-842 59-540-549 60-63-87 60-80-100 60-91-109 60-144-156 60-175-185 60-297-303 60-448-452 60-899-901 62-960-962 63-84-105 63-216-225 63-280-287 63-660-663 64-120-126 64-252-260 64-510-514 65-72-97 65-156-169 65-420-429 66-88-110 66-112-130 66-360-366 68-285-293 68-576-580 69-92-115 69-260-269 69-792-795 70-168-182 70-240-250 72-96-120 72-135-153 72-154-170 72-210-222 72-320-328 72-429-435 72-646-650 75-100-125 75-180-195 75-308-317 75-560-565 75-936-939 76-357-365 76-720-724 77-264-275 77-420-427 78-104-130 78-160-178 78-504-510 80-84-116 80-150-170 80-192-208 80-315-325 80-396-404 81-108-135 81-360-369 84-112-140 84-135-159 84-187-205 84-245-259 84-288-300 84-437-445 84-585-591 84-880-884 85-132-157 85-204-221 85-720-725 87-116-145 87-416-425 88-105-137 88-165-187 88-234-250 88-480-488 88-966-970 90-120-150 90-216-234 90-400-410 90-672-678 91-312-325 91-588-595 92-525-533 93-124-155 93-476-485 95-168-193 95-228-247 95-900-905 96-110-146 96-128-160 96-180-204 96-247-265 96-280-296 96-378-390 96-572-580 96-765-771 98-336-350 99-132-165 99-168-195 99-440-451 99-540-549
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100-105-145 100-248-260 100-495-505 100-621-629 102-136-170 102-280-298 102-864-870 104-153-185 104-195-221 104-330-346 104-672-680 105-140-175 105-do8-233 105-252-273 105-360-375 105-608-617 105-784-791 108-144-180 108-231-255 108-315-333 108-480-492 108-725-733 110-264-286 110-600-610 111-148-185 111-680-689 112-180-212 112-210-238 112-384-400 112-441-455 112-780-788 114-152-190 114-352-370 115-252-277 115-276-299 116-837-845 117-156-195 117-240-267 117-520-533 117-756-765 119-120-169 119-408-425 120-126-174 120-160-200 120-182-218 120-209-241 120-225-255 120-288-312 120-350-370 120-391-409 120-442-458 120-594-606 120-715-725 120-896-904 121-660-671 123-164-205 123-836-845 124-957-965 125-300-325 126-168-210 126-432-450 126-560-574 128-240-272 128-504-520 129-172-215 129-920-929 130-144-194 130-312-338 130-840-850 132-176-220 132-224-260 132-351-375 132-385-407 132-475-493 132-720-732 133-156-205 133-466-475 135-180-225 135-324-351 135-352-377 135-600-615 136-255-289 136-273-305 136-570-586 138-184-230 138-520-538 140-147-203 140-171-221 140-225-265 140-336-364 140-480-500 140-693-707 140-975-985 141-188-235 143-780-793 143-924-935 144-165-219 144-192-240 144-270-306 144-308-340 144-420-444 144-567-585 144-640-656 144-858-870 145-348-377 145-408-433 147-196-245 147-504-525 150-200-250 150-360-390 150-616-634 152-285-323 152-345-377 152-714-730 153-420-447 153-680-697 154-528-550 154-840-854 155-372-403 155-468-493 156-208-260 156-320-356 156-455-481 156-495-519 156-667-685 159-212-265 160-168-232 160-231-281 160-300-340 160-384-416 160-630-650 160-792-808 161-240-289 161-552-575 162-216-270 162-720-738 165-220-275 165-280-325 165-396-429 165-532-557 165-900-915 168-224-280 168-270-318 168-374-410 168-425-457 168-490-518 168-576-600 168-775-793 168-874-890 170-264-314 170-408-442 171-228-285 171-528-555 171-760-779 174-232-290 174-832-850 175-288-337 175-420-455 175-600-625 176-210-274 176-330-374 176-468-500 176-693-715 176-960-976 177-236-295 180-189-261 180-240-300 180-273-327 180-299-349 180-385-425 180-432-468 180-663-687 180-800-820 180-891-909 182-624-650 183-244-305 184-345-391 184-513-545 185-444-481 185-672-697 186-248-310 186-952-970 189-252-315 189-340-389 189-648-675 189-840-861 190-336-386 190-456-494 192-220.292 192-256-320 192-360-408 192-494-530 192-560-592 192-576-780 195-216-291 195-260-325 195-400-445 195-468-507 195-748-773 196-315-371 196-672-700 198-264-330 198-336-390 198-880-902 200-210-290 200-375-425 200-480-520 200-609-641 201-268-335 203-396-445 203-696-725 204-253-325 204-272-340 204-560-596 204-595-629 204-855-879 |
205-492-533 205-828-853 207-224-305 207-276-345 207-780-807 207-920-943 208-306-370 208-390-442 208-660-692 208-819-910 210-280-350 210-416-466 210-504-546 210-720-750 213-284-355 215-516-559 215-812-937 216-288-360 216-405-459 216-462-510 216-713-745 216-960-984 217-456-505 217-744-775 219-292-365 220-231-319 220-459-509 220-528-572 220-585-625 222-296-370 224-360-424 224-420-476 224-768-800 224-882-910 225-272-353 225-300-375 225-540-585 225-924-941 228-304-330 228-325-397 228-665-703 228-704-740 230-504-554 230-552-598 231-308-385 231-392-455 231-520-569 231-792-825 232-435-493 232-825-857 234-312-390 234-480-534 235-564-611 236-527-625 237-316-395 238-240-338 238-816-850 240-252-348 240-275-365 240-320-400 240-364-436 240-418-482 240-450-510 240-551-601 240-576-624 240-700-740 240-782-818 240-884-916 243-324-405 245-588-637 245-840-875 246-328-410 248-465-527 248-945-977 249-332-415 250-600-630 252-275-373 252-336-420 252-405-477 252-539-595 252-561-615 252-735-777 252-864-900 255-340-425 255-396-471 255-612-663 255-700-745 256-480-544 258-344-430 259-660-709 259-888-925 260-273-377 260-288-388 260-624-676 260-651-701 260-825-865 261-348-435 261-380-461 264-315-411 264-352-440 264-448-420 264-495-561 264-702-750 264-770-814 264-950-986 265-636-689 266-312-410 266-912-950 267-356-445 270-360-450 270-648-702 270-704-754 272-510-578 272-546-610 273-364-455 273-560-623 273-736-785 273-936-975 275-660-715 276-368-460 276-493-565 276-805-851 279-372-465 279-440-521 280-294-406 280-342-442 280-351-449 280-450-530 280-525-595 280-672-728 280-759-809 280-960-1000 282-376-470 285-380-475 285-504-579 285-684-741 285-880-925 287-716-865 288-330-438 288-384-480 288-540-612 288-616-680 288-741-795 288-840-888 290-696-754 290-816-866 291-388-485 294-392-490 295-708-767 296-555-629 300-315-435 300-400-500 300-455-545 300-589-661 300-720-780 300-875-925 301-900-949 303-404-505 304-570-646 304-650-754 305-732-793 306-408-510 306-840-894 308-435-533 308-495-583 308-819-875 309-412-415 310-744-806 310-936-986 312-416-520 312-459-555 312-585-663 312-640-712 315-420-525 315-572-653 315-624-600 315-756-819 318-424-530 319-360-481 320-336-464 320-462-562 320-600-680 321-428-535 322-480-578 324-432-540 324-693-765 324-945-999 325-360-485 325-780-845 327-436-545 328-615-697 330-440-550 330-560-650 330-792-858 332-495-657 333-444-555 333-644-725 335-804-871 336-377-505 336-385-511 336-448-560 336-540-636 336-630-714 336-748-820 336-850-914 339-452-565 340-528-628 340-357-493 340-816-884 341-420-541 342-456-570 344-645-731 345-460-575 345-756-831 345-828-897 348-464-580
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348-805-877 350-576-674 350-840-910 351-468-585 352-420-548 352-660-748 352-936-1000 354-472-590 355-852-923 357-360-507 357-476-595 360-378-522 360-480-600 360-546-654 360-598-698 360-627-723 360-770-850 360-864-936 363-484-605 363-616-715 364-485-689 364-627-725 365-876-949 366-488-610 368-465-593 368-690-782 369-492-615 369-800-881 370-888-962 372-496-620 372-925-997 375-500-625 375-900-975 376-705-799 378-504-630 378-680-778 380-399-551 380-672-772 380-912-988 381-508-635 384-440-584 384-512-640 385-552-673 387-516-645 387-884-945 390-432-582 390-520-650 390-800-890 392-630-742 392-735-833 393-524-655 396-403-565 396-528-660 396-672-780 396-847-935 399-468-615 399-532-665 400-430-580 400-561-689 400-750-850 402-536-670 405-540-675 406-792-890 407-524-745 408-506-650 408-544-680 408-765-867 408-819-915 411-548-685 414-448-610 414-552-690 416-612-740 416-780-884 417-556-695 420-441-609 420-513-663 420-560-700 420-637-763 420-675-795 420-832-932 420-851-949 423-564-705 424-795-901 425-660-785 426-568-710 428-455-697 429-460-629 429-572-715 429-700-821 429-728-865 429-880-918 432-495-657 432-576-720 432-665-793 432-810-918 435-580-725 438-584-730 440-462-638 440-525-685 440-825-935 441-588-735 444-592-740 447-596-745 448-720-848 448-840-952 450-544-706 450-600-750 451-780-901 453-604-755 455-504-679 456-608-760 456-650-794 456-855-969 459-612-755 460-483-667 462-616-770 462-784-910 464-777-905 464-870-986 465-620-775 468-595-757 468-624-780 471-628-785 473-864-985 474-632-790 475-840-965 476-480-676 476-765-901 477-636-795 480-504-696 480-550-730 480-640-800 480-693-843 480-728-872 480-836-864 481-600-769 483-644-805 483-720-867 486-648-810 489-652-815 492-656-820 495-660-825 495-840-975 498-664-830 500-525-725 501-668-835 504-550-746 504-672-840 504-703-865 504-810-954 507-676-845 510-680-850 510-792-956 513-684-855 516-688-860 519-492-865 520-546-754 520-576-776 520-765-925 522-696-870 522-760-922 525-700-875 528-605-803 528-630-822 528-704-880 531-708-885 532-624-820 533-756-925 534-712-890 540-567-783 540-629-829 540-720-900 540-819-981 543-724-905 546-728-910 549-732-915 552-736-920 555-572-797 555-740-925 558-744-930 560-588-812 560-684-884 560-702-898 561-748-935 564-752-940 567-756-945 570-760-950 573-764-955 576-660-876 576-768-960 579-772-965 580-609-841 580-741-941 582-776-970 585-648-873 585-780-975 588-784-980 591-788-985 594-608-950 594-792-990 595-600-845 597-796-995 600-630-870 600-800-1000 612-759-975 615-728-953 616-663-905 616-735-959 620-651-899 621-672-915 624-715-949 640-672-928 650-720-970 660-693-957 680-714-986 696-697-985
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7) DAI MULTIPLI DEL 6 AI NUMERI PRIMI
a) Un numero primo risulta sempre un multiplo di 6, a cui è stata aggiunta o sottratta una unità, a volte anche in entrambi i casi. In quest’ultimo caso, però, si hanno due numeri primi gemelli, la cui somma risulta sempre un multiplo di 6.
Se prendiamo i numeri primi 17 e 19, essi sono stati ottenuti dallo stesso multiplo di 6, che è 18. Ecco perché con l’addizione e la sottrazione dell’unità si sono ottenuti due numeri primi gemelli, la cui somma 36 è un multiplo di 6.
Risulta divisibile per 6 anche la somma di due numeri primi ottenuti l’uno con +1 e l’altro con -1.
73 (72+1) + 107 (108-1) = 180 (divisibile per 6).
Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con +1, sottraendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.
151 (150+1) + 277 (276+1) = 428 - 2 = 426 (divisibile per 6).
Se due numeri primi sono stati ottenuti entrambi con -1, aggiungendo alla loro somma due unità, si ottiene un numero divisibile per 6.
269 (270-1) + 605 (606-1) = 874 + 2 = 876 (divisibile per 6)
b) Se un quadrato è divisibile solo per sé stesso e per la sua radice, quest’ultima è un numero primo.
49 è divisibile solo per sé stesso e per 7, che è la sua radice. Per cui 7 è un numero primo.
Allora è vero anche che il quadrato di un numero primo è il suo primo multiplo avente come fattori la sua radice.
Il quadrato di 7 è 49, i cui fattori sono 7x7.
c) I numeri primi sono multipli del 6, ai quali è stata tolta o aggiunta una unità. Se aggiungendo o togliendo una unità ad un multiplo del 6 otteniamo due numeri primi, essi vengono detti numeri primi gemelli.
Il 18, che è un multiplo di 6 (6·3), con la sottrazione e con l’aggiunta di una unità, ci dà i seguenti due numeri primi:
18-1=17 / 18+1=19 (17 e 19 sono detti numeri primi gemelli)
I numeri primi gemelli danno sempre come differenza 2.
Se dividiamo un numero primo per 6, avremo come resto 1 oppure 5, a seconda se è stata aggiunta oppure tolta l’unità.
31 : 6 = 5 col resto di 1 (Infatti al multiplo 30 è stata sommata l’unità, facendolo diventare 31, che è un numero primo).
29 : 6 = 4 col resto di 5 (Infatti, al multiplo 30 è stata sottratta l’unità, facendolo diventare 29, che è un numero primo).
d) Un numero primo è anche la somma di un multiplo di 6 più un numero primo più piccolo di quello che si vuole ottenere. Quando il multiplo di 6 termina con 0, ad esso non si può sommare il numero primo 5, poiché ne verrebbe fuori un multiplo di 5. A volte lo stesso multiplo di 6, con i vari numeri primi aggiunti, dà luogo ad altrettanti numeri primi. Come pure due addendi diversi, sommati, possono dare lo stesso numero primo.
6 + 11 = 17 (11 e 17 sono numeri primi);
12 + 5 = 17 (12 e 5 sono numeri primi);
6 + 23 = 29 (23 e 29 sono numeri primi);
12 + 19 = 31 (19 e 31 sono numeri primi);
18 + 19 = 37 (19 e 37 sono numeri primi);
42 + 59 = 101 (59 e 101 sono numeri primi); ecc…
e) Se si vuole sapere quale multiplo di 6 ha dato origine al numero primo, bisogna prima renderlo multiplo di 6 (aggiungendo o sottraendo ad esso l’unità), come di seguito:
Se abbiamo il numero primo 56443 e vogliamo conoscere il multiplo di 6 che gli ha dato origine, prima eseguiamo le due operazioni e sommiamo le cifre dei due risultati [56443+1= 56444 (23)], [56443-1=56442 (21)]. Essendo 21 divisibile per 3, 56442 risulta divisibile per 6. Per cui il multiplo di 6 che ha dato origine al numero primo 56443 è 56442.
Nel caso di due numeri primi gemelli, come 34757 e 34759, il multiplo di 6, che ha dato origine ad entrambi, è il loro numero intermedio, ossia 34758.
Se la somma di due numeri primi è divisibile per 6, l’uno è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata tolta una unità e l’altro è stato ottenuto da un multiplo di 6 a cui è stata aggiunta una unità, come nei seguenti:
317 + 643 = 960 : 6 = 160 (318-1 = 317 / 642+1 = 643)
Nei numeri primi gemelli avviene la stessa cosa. Essi però sono stati ottenuti dallo stesso multiplo di 6.
f) Ogni numero primo ha infiniti multipli, i quali si possono dividere in due gruppi: a) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri non primi, come 9, 10, 12, che sono infiniti;
b) quelli ottenuti dal suo prodotto con numeri primi, come 11, 13, 17, che sono pure infiniti. Questo secondo gruppo dà origine a dei prodotti aventi per fattori due numeri primi.
Così 91, che è un multiplo di 7, ha per fattori 7 e 13. Un multiplo di questo tipo possiamo considerarlo multiplo bifattoriale primo; invece 12, che è un multiplo di 3 ed ha per fattori
3 e 4, è da considerarsi un multiplo bifattoriale non primo. Se nel primo caso, il multiplo 91 può avere una sola coppia di fattori, cioè 7 e 13; nel secondo caso, il multiplo 12 può
avere due coppie di fattori, ossia 3 e 4, 2 e 6.
ECCO COME OTTENERE TUTTI I NUMERI PRIMI
Tutti i numeri primi, insieme ad alcuni numeri composti, si possono ottenere anche dalle due sottoindicate sequenze di numeri, che procedono con l’aggiunta di 6, la prima partendo dal numero 5 e la seconda dal numero 7. Tutte le volte che il risultato termina con 9, ad evitare di scrivere dei sicuri numeri non primi, poiché sarebbero multipli di 5, si aggiunge ad esso 12, anziché 6. Inoltre, nelle due sequenze si possono eliminare anche i multipli dell’11, visto che non c’è bisogno di ricorrere ad alcuna moltiplicazione. Basta seguire la relativa regola, la quale li individua con facilità.
Essa è la seguente: La differenza fra la somma delle cifre pari e quella delle cifre dispari, o viceversa, ci deve dare 0 oppure 11 o un suo multiplo.
Ecco le due sequenze numeriche, quella derivata dal 5 e quella derivata dal 7 (in neretto i numeri primi):
5+6=11+6=17+6=23+6=29+12=41+6=47+6=53+6=59+12=
=71+6=77+6=83+6=89+12=101+6=107+6=113+6=119+12=
=131+6=137+6=143+6=149+12=161+6=167+6=173+6=
=179+12=191+6=197+6=203+6=209+12=221; ecc…
7+6=13+6=19+12=31+6=37+6=43+6=49+12=61+6=67+6=
=73+6=79+12=91+6=97+6=103+6=109+12=121+6=127+6=
=133+6=139+12=151+6=157+6=163+6=169+12=181+6=
=187+6=193+6=199+12=211+6=217+6=223+6=229; ecc…
Come si può osservare, nelle due sequenze numeriche, considerandole insieme, a cominciare dal quadrato di 7, ossia 49, i numeri non primi sono sempre prodotti di due fattori primi, uno dei quali può anche presentarsi al quadrato, al cubo, ecc…Ma ciò avviene nei grandi numeri.
Infatti, il primo numero composto delle due limitate sequenze è 49=7x7. Seguono poi 77=7x11; 91=7x13; 119=7x17; 121= =11x11; 133=7x19; 143=11x13; 161=7x23; 169=13x13; 187= =11x17; 203=7x29; 209=11x19; 217=7x31; 221=13x17. Così si procede all’infinito, moltiplicando ogni numero primo per sé stesso e per tutti gli altri numeri primi maggiori.
Se ne conclude che, per avere tutti i numeri primi, prima bisogna procedere come sopra, ricavando cioè le due serie, quella del 5 e quella del 7. Dopo si passa ad eliminare i numeri non primi, eliminando i prodotti che si ottengono dalla moltiplicazione di ogni numero primo, a cominciare dal 7, per sé stesso e per i numeri primi ad esso maggiori. Ma si evita di cercare i multipli dell’11, essendo stati essi già eliminati.
Questo è l’unico modo di trovare tutti i numeri primi appartenenti all’infinita serie dei numeri naturali.
Volendo sapere da quale serie è provenuto un numero primo, ossia se da quella del 5 o da quella del 7, basta togliere ad esso il 5 o il 7. La sottrazione che dà come risultato un multiplo di 6 ci fa apprendere la sua giusta sequenza di provenienza.
Se abbiamo il numero primo 839, per conoscere la sua sequenza di origine, agiremo in questo modo:
839-5=834, il quale, essendo un multiplo di 6, ci dice che esso apparteine alla sequenza di 5.
1201-7=1194, il quale, essendo un multiplo di 6, ci dice che esso appartiene alla sequenza 7.
Quando due numeri primi hanno per diffenza 2, il minore appartiene alla sequenza 5 e il maggiore appartiene alla sequenza 7. Prendiamo come esempi 1997 e 1999, la cui differenza è 2. Sottraendo al minore 5 e al maggiore 7, si ottiene la stessa differenza, ossia 1992, che è un multiplo di 6. Numeri primi del genere, come abbiamo visto, seno detti numeri primi gemelli.
Concludendo, i numeri primi si dividono in due gruppi, quelli della sequenza 5 e quelli della sequenza 7. La differenza fra due numeri primi dà come risultato un multiplo di 6, solo se appartengono allo stesso gruppo. Altrimenti avremo un risultato non multiplo di 6. Comunque, possiamo già saperlo prima se due numeri primi appartengono allo stesso gruppo. Aggiungendo ad essi l’unità, i nuovi valori devono entrambi risultare multipli di 6. Se invece lo diventa uno solo, essi non fanno parte dello stesso gruppo.
Ad esempio, 11 e 13 non appartengono allo stesso gruppo, poiché 11+1=12 e 13+1=14. Come si vede, solo 12 è multiplo di 6. Infatti, 11 è stato ottenuto da 5+6 e appartiene alla sequenza del 5; mentre 13 è stato ottenuto da 7+6 e appartiene alla sequenza del 7.
Volendo sapere da quale serie è provenuto un numero primo, ossia se da quella del 5 o da quella del 7, basta togliere ad esso il 5 o il 7. La sottrazione che dà come risultato un multiplo di 6 ci fa apprendere la sua giusta sequenza di provenienza.
Se abbiamo il numero primo 839, per conoscere la sua sequenza di origine, agiremo in questo modo:
839-5=834, il quale, essendo un multiplo di 6, ci dice che esso apparteine alla sequenza di 5.
1201-7=1194, il quale, essendo un multiplo di 6, ci dice che esso appartiene alla sequenza 7.
Quando due numeri primi hanno per diffenza 2, il minore appartiene alla sequenza 5 e il maggiore appartiene alla sequenza 7. Prendiamo come esempi 1997 e 1999, la cui differenza è 2. Sottraendo al minore 5 e al maggiore 7, si ottiene la stessa differenza, ossia 1992, che è un multiplo di 6. Numeri primi del genere, come abbiamo visto, seno detti numeri primi gemelli.
Concludendo, i numeri primi si dividono in due gruppi, quelli della sequenza 5 e quelli della sequenza 7. La differenza fra due numeri primi dà come risultato un multiplo di 6, solo se appartengono allo stesso gruppo. Altrimenti avremo un risultato non multiplo di 6. Comunque, possiamo già saperlo prima se due numeri primi appartengono allo stesso gruppo. Aggiungendo ad essi l’unità, i nuovi valori devono entrambi risultare multipli di 6. Se invece lo diventa uno solo, essi non fanno parte dello stesso gruppo.
Ad esempio, 11 e 13 non appartengono allo stesso gruppo, poiché 11+1=12 e 13+1=14. Come si vede, solo 12 è multiplo di 6. Infatti, 11 è stato ottenuto da 5+6 e appartiene alla sequenza del 5; mentre 13 è stato ottenuto da 7+6 e appartiene alla sequenza del 7.
h) I numeri primi terminano sempre con le cifre 1, 3, 7 e 9. Ora vediamo come si ottengono i numeri primi terminanti con tali cifre.
1)I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi una unità. Tali numeri primi terminano tutti con la cifra 1. Esempi:
6 x 32 = 192 – 1 = 191; 6 x 47 = 282 – 1 = 281 (191 e 281 sono numeri primi).
Anche i multipli del 6 ottenuti con un multiplo del 5 e aumentati di una unità danno luogo a numeri primi terminanti con 1. Esempi:
6 x 5 = 30 + 1 = 31 / 6 x 30 = 180 + 1 = 181 (31 e 181 sono numeri primi)
Comunque, per avere i numeri primi in ordine crescente, bisogna procere alternativamente prima con il 2, poi con il 5 e infine con il 7.
2 x 6 = 12 – 1 = 11 / 5 x 6 = 30 + 1 = 31 / 7x6=42-1=41 (Infatti, i numeri 11, 31 e 41 sono tre numeri primi in ordine crescente).
2) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 4 e con 9 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l’unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 3. Esempi:
6 x 14 = 84 – 1 = 83 / 6 x 29 = 174 – 1 = 173
Anche i multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 2 e con 7 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. Anch’essi terminano tutti con la cifra 3. Esempi:
12 x 6 = 72 + 1 = 73 / 17 x 6 = 102 + 1 = 103 (73 e 103 sono numeri primi)
3) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 1 e con 6 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. Tali numeri primi terminano con la cifra 7. Esempi:
6 x 6 = 36 + 1 = 37 / 6 x 11 = 66 + 1 = 67 (37 e 67 sono numeri primi)
Anche i multipli del 6 ottenuti con numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, sottraendo ad essi l’unità. Anch’essi terminano con la cifra 7. Esempi:
6 x 23 = 138 – 1 = 137; 6 x 58 = 348 – 1=347 (Anche i numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 7)
4) I multipli del 6 ottenuti con i numeri terminanti con 3 e con 8 possono diventare numeri primi, aggiungendo ad essi l’unità. I numeri primi ottenuti con tale criterio terminano tutti con la cifra 9. Esempi:
6 x 13 = 78 + 1 = 79 / 6 x 38 = 228 + 1 = 229 (79 e 229 sono numeri primi)
Anche i multipli del 6 ottenuti con i multipli del 5, diminuiti di una unità, possono diventare numeri primi. Anch’essi terminano tutti con la cifra 9. Esempi:
5 x 6 = 30 – 1 = 29; 30 x 6 = 180 – 1 = 179 (29 e 179 sono numeri primi)
Ecco i numeri primi contenuti entro il 1000 ottenuti con tali criteri:
6x1=6-1=5 (N.P.) / 6x1=6+1=7 (N.P.)
6x2=12-1=11 (N.P.) / 6x2=12+1=13 (N.P.)
6x3=18-1=17 (N.P.) / 6x3=18+1=19 (N.P.)
6x4=24-1=23 (N.P.) / 6x4=24+1=25
6x5=30-1=29 (N.P.) / 6x5=30+1=31 (N.P.)
6x6=36-1=35 (5x7) / 6x6=36+1=37 (N.P.)
6x7=42-1=41 (N.P.) / 6x7=42 +1=43 (N.P.)
6x8=48-1=47 (N.P.) / 6x8=48+1=49
6x9=54-1=53 (N.P.) / 6x9=54+1=55
6x10=60-1=59 (N.P.) / 6x10=60+1=61 (N.P.)
6x11=66-1=65 (5.13) / 6x11=66+1=67 (N.P.)
6x12=72-1=71 (N.P.) / 6x12=72+1=73 (N.P.)
6x13=78-1=77 (7x11) / 6x13=78+1=79 (N.P.)
6x14=84-1=83 (N.P.) / 6x14=84+1=85
6x15=90-1=89 (N.P.) / 6x15=90+1=91
6x16=96-1=95 (5x19) / 6x16=96+1=97 (N.P.)
6x17=102-1=101 (N.P.) / 6x17=102+1=103 (N.P.)
6x18=108-1=107 (N.P.) / 6x18=108+1=109 (N.P.)
6x19=114-1=113 (N.P.) / 6x19=114+1=115
6x20=120-1=119 (7x17) / 6x20=120+1=121
6x21=126-1=125 (5x25) / 6x121=126+1=127 (N.P.)
6x22=132-1=131 (N.P.) / 6x22=132+1=133
6x23=138-1=137 (N.P.) / 6x23=138+1=139 (N.P.)
6x24=144-1=143 (11x13) / 6x24=144+1=145
6x25=150-1=149 (N.P.) / 6x25=150+1=151 (N.P.)
6x26=156-1=155 (5x31) / 6x26=156+1=157 (N.P.)
6x27=162-1=161 (7x23) / 6x27=162+1=163 (N.P.)
6x28=168-1=167 (N.P.) / 6x28=168+1=169
6x29=174-1=173 (N.P.) / 6x29=174+1=175
6x30=180-1=179 (N.P.) / 6x30=180+1=181 (N.P.)
6x31=186-1=185 (5x37) / 6x31=186+1=187
6x32=192-1=191 (N.P.) / 6x32=192+1=193 (N.P.)
6x33=198-1=197 (N.P.) / 6x33=198+1=199 (N.P.)
6x34=204-1=203 (7x29) / 6x34=204+1=205
6x35=210-1=209 (11x19) / 6x35=210+1=211 (N.P.)
6x36=216-1=215 (5x43) / 6x36=216+1=217
6x37=222-1=221 (13x17) / 6x37=222+1=223 (N.P.)
6x38=228-1=227 (N.P.) / 6x38=228+1=229 (N.P.)
6x39=234-1=233 (N.P.) / 6x39=234+1=235
6x40=240-1=239 (N.P.) / 6x40=240+1=241 (N.P.)
6x41=246-1=245 (5x49) / 6x41=246+1=247
6x42=252-1=251 (N.P.) / 6x42=252+1=253
6x43=258-1=257 (N.P.) / 6x43=258+1=259
6x44=264-1=263 (N.P.) / 6x44=264+1=265
6x45=270-1=269 (N.P.) / 6x45=270+1=271 (N.P.)
6x46=276-1=275 (5x55) / 6x46=276+1=277 (N.P.)
6x47=282-1=281 (N.P.) / 6x47=282+1=283 (N.P.)
6x48=288-1=287 (7x41) / 6x48=288+1=289
6x49=294-1=293 (N.P.) / 6x49=294+1=295
6x50=300-1=299 (13x23) / 6x50=300+1=301
6x51=306-1=305 (5x61) / 6x51=306+1=307 (N.P.)
6x52=312-1=311 (N.P.) / 6x52=312+1=313 (N.P.)
6x53=318-1=317 (N.P.) / 6x53=318+1=319
6x54=324-1=323 (17x19) / 6x54=324+1=325
6x55=330-1=329 (7x47) / 6x55=330+1=331 (N.P.)
6x56=336-1=335 (5x67) / 6x56=336+1=337 (N.P.)
6x57=342-1=341 (11x31) / 6x57=342+1=343
6x58=348-1=347 (N.P.) / 6x58=348+1=349 (N.P.)
6x59=354-1=353 (N.P.) / 6x59=354+1=355
6x60=360-1=359 (N.P.) / 6x60=360+1=361
6x61=366-1=365 (5x73) / 6x61=366+1=367 (N.P.)
6x62=372-1=371 (7x53) / 6x62=372+1=373 (N.P.)
6x63=378-1=377 (13x29) / 6x63=378+1=379 (N.P.)
6x64=384-1=383 (N.P.) / 6x64=384+1=385
6x65=390-1=389 (N.P.) / 6x65=390+1=391
6x66=396-1=395 (5x79) / 6x66=396+1=397 (N.P.)
6x67=402-1=401 (N.P.) / 6x67=402+1=403
6x68=408-1=407 / 6x68=408+1=409 (N.P.)
6x69=414-1=413 / 6x69=414+1=415
6x70=420-1=419 (N.P.) / 6x70=420+1=421 (N.P.)
6x71=426-1=425 / 6x71=426+1=427
6x72=432-1=431 (N.P.) / 6x72=432+1=433 (N.P.)
6x73=438-1=437 / 6x73=438+1=439 (N.P.)
6x74=444-1=443 (N.P.) / 6x74=444+1=445
6x75=450-1=449 (N.P.) / 6x75=450+1=451
6x76=456-1=455 / 6x76=456+1=457 (N.P.)
6x77=462-1=461 (N.P.) / 6x77=462+1=463 (N.P.)
6x78=468-1=467 (N.P.) / 6x78=468+1=469
6x79=474-1=473 / 6x79=474+1=475
6x80=480-1=479 (N.P.) / 6x80=480+1=481
6x81=486-1=485 / 6x81=486+1=487 (N.P.)
6x82=492-1=491 (N.P.) / 6x82=492+1=493
6x83=498-1=497 / 6x83=498+1=499
6x84=504-1=503 (N.P.) / 6x84=504+1=505
6x85=510-1=509 (N.P.) / 6x85=510+1=511
6x86=516-1=515 / 6x86=516+1=517
6x87=522-1=521 (N.P.) / 6x87=522+1=523 (N.P.)
6x88=528-1=527 / 6x88=528+1=529
6x89=534-1=533 / 6x89=534+1=535
6x90=540-1=539 / 6x90=540+1=541 (N.P.)
6x91=546-1=545 / 6x91=546+1=547 (N.P.)
6x92=552-1=551 / 6x92=552+1=553
6x93=558-1=557 (N.P.) / 6x93=558+1=559
6x94=564-1=563 (N.P.) / 6x94=564+1=565
6x95=570-1=569 (N.P.) / 6x95=570+1=571 (N.P.)
6x96=576-1=575 / 6x96=576+1=577 (N.P.)
6x97=582-1=581 / 6x97=582+1=583
6x98=588-1=587 (N.P.) / 6x98=588+1=589
6x99=594-1=593 (N.P.) / 6x99=594+1=595
6x100=600-1=599 (N.P.) / 6x100=600+1=601 (N.P.)
6x101=606-1=605 / 6x101=606+1=607 (N.P.)
6x102=612-1=611 / 6x102=612+1=613 (N.P.)
6x103=618-1=617 (N.P.) / 6x103=618+1=619 (N.P.)
6x104=624-1=623 / 6x104=624+1=625
6x105=630-1=629 / 6x105=630+1=631 (N.P.)
6x106=636-1=635 / 6x106=636+1=637
6x107=642-1=641 (N.P.) / 6x107=642+1=643 (N.P.)
6x108=648-1=647 (N.P.) / 6x108=648+1=649
6x109=654-1=653 (N.P.) / 6x109=654+1=655
6x110=660-1=659 (N.P.) / 6x110=660+1=661 (N.P.)
6x111=666-1=665 / 6x111=666+1=667
6x112=672-1=671 / 6x112=672+1=673 (N.P.)
6x113=678-1=677 (N.P.) / 6x113=678+1=679
6x114=684-1=683 (N.P.) / 6x114=684+1=685
6x115=690-1=689 / 6x115=690+1=691 (N.P.)
6x116=696-1=695 / 6x116=696+1=697
6x117=702-1=701 (N.P.) / 6x117=702+1=703
6x118=708-1=707 / 6x118=708+1=709 (N.P.)
6x119=714-1=713 / 6x119=714+1=715
6x120=720-1=719 (N.P.) / 6x120=720+1=721
6x121=726-1=725 / 6x121=726+1=727 (N.P.)
6x122=732-1=731 / 6x122=732+1=733 (N.P.)
6x123=738-1=737 / 6x123=738+1=739 (N.P.)
6x124=744-1=743 (N.P.) / 6x124=744+1=745
6x125=750-1=749 / 6x125=750+1=751 (N.P.)
6x126=756-1=755 / 6x126=756+1=757 (N.P.)
6x127=762-1=761 (N.P.) / 6x127=762+1=763
6x128=768-1=767 / 6x128=768+1=769 (N.P.)
6x129=774-1=773 (N.P.) / 6x129=774+1=775
6x130=780-1=779 / 6x130=780+1=781
6x131=786-1=785 / 6x131=786+1=787 (N.P.)
6x132=792-1=791 / 6x132=792+1=793
6x133=798-1=797 (N.P.) / 6x133=798+1=799
6x134=804-1=803 / 6x134=804+1=805
6x135=810-1=809 (N.P.) / 6x135=810+1=811 (N.P.)
6x136=816-1=815 / 6x136=816+1=817
6x137=822-1=821 (N.P.) / 6x137=822+1=823 (N.P.)
6x138=828-1=827 (N.P.) / 6x138=828+1=829 (N.P.)
6x139=834-1=833 / 6x139=834+1=835
6x140=840-1=839 (N.P.) / 6x140=840+1=841
6x141=846-1=845 / 6x141=846+1=847
6x142=852-1=851 / 6x142=852+1=853 (N.P.)
6x143=858-1=857 (N.P.) / 6x143=858+1=859 (N.P.)
6x144=864-1=863 (N.P.) / 6x144=864+1=865
6x145=870-1=869 / 6x145=870+1=871
6x146=876-1=875 / 6x146=876+1=877 (N.P.)
6x147=882-1=881 (N.P.) / 6x147=882+1=883 (N.P.)
6x148=888-1=887 (N.P.) / 6x148=888+1=889
6x149=894-1=893 / 6x149=894+1=895
6x150=900-1=899 / 6x150=900+1=901
6x151=906-1=905 / 6x151=906+1=907 (N.P.)
6x152=912-1=911 (N.P.) / 6x152=912+1=913
6x153=918-1=917 / 6x153=918+1=919 (N.P.)
6x154=924-1=923 / 6x154=924+1=925
6x155=930-1=929 (N.P.) / 6x155=930+1=931
6x156=936-1=935 / 6x156=936+1=937 (N.P.)
6x157=942-1=941 (N.P.) / 6x157=942+1=943
6x158=948-1=947 (N.P.) / 6x158=948+1=949
6x159=954-1=953 (N.P.) / 6x159=954+1=955
6x160=960-1=959 / 6x160=960+1=961
6x161=966-1=965 / 6x161=966+1=967 (N.P.)
6x162=972-1=971 (N.P.) / 6x162=972+1=973
6x163=978-1=977 (N.P.) / 6x163=978+1=979
6x164=984-1=983 (N.P.) / 6x164=984+1=985
6x165=990-1=989 / 6x165=990+1=991 (N.P.)
6x166=996-1=995 / 6x166=996+1=997 (N.P.)
6x167=1002-1=1001 / 6x167=1002+1=1003
8) SUI QUADRATI DEI NUMERI INTERI
Il quadrato di un numero n è uguale alla somma dei primi n numeri dispari. Ossia:
il quadrato di 3 è uguale alla somma dei primi 3 numeri dispari: 1+3+5=9;
il quadrato di 5 è uguale alla somma dei primi 5 numeri dispari:1+3+5+7+9=25;
il quadrato di 9 è uguale alla somma dei primi 9 numeri dispari: 1+3+5+7+9+11+13+15+17=81.
Se bisogna trovare i quadrati di più numeri consecutivi, basta aggiungere ogni volta il numero dispari successivo della serie, come qui appresso.
Volendo trovare i quadrati dei numeri da 1 a 10, abbiamo:
12 =0 + 1 (primo numero dispari) = 1;
22 =1 + 3 (secondo numero dispari) = 4;
32 = 4 + 5 (terzo numero dispari) = 9;
42 = 9 + 7 (quarto numero dispari) = 16;
52 = 16 + 9 (quinto numero dispari) = 25; ecc…
- Conoscendosi n e il suo quadrato, è semplice conoscere qual è stato il numero dispari più grande della serie di numeri dispari, la cui somma ha dato luogo al quadrato. Infatti, esso si ottiene, moltiplicando n per 2 e sottraendo al prodotto 1.
Se sappiamo che il quadrato di 40 è 1600, sappiamo anche che è stata la somma dei primi 40 numeri dispari a dar luogo a 1600, il più grande dei quali è stato: 40·2-1=79. Per cui, se volessimo trovare il quadrato di 41, basterebbe aggiungere a 1600 il successivo numero dispari, che è 81, (1600+81=1681). Se invece volessimo trovare il quadrato di 39, basterebbe sottrarre da 1600 il numero dispari più grande, che è 79, (1600-79=1521).
- Da ciò possiamo dedurre che, tutte le volte che dobbiamo trovare il quadrato dei numeri come 51 e 49, ci conviene trovare prima il quadrato di 50 (2500). Dopo aggiungiamo 101 (2601) per trovare il quadrato di 51 o sottraiamo 99 (2401) per trovare il quadrato di 49.
- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri dispari, a partire dal quadrato 1, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli, come appresso:
1 (quadrato di 1) + 8 = 9 (quadrato di 3) + 16 = 25 (quadrato di 5) + 24 = 49 (quadrato di 7) + 32 = 81 (quadrato di 9) + 40 = 121 (quadrato di 11) + 48 = 169 (quadrato di 13); ecc…
- Se vogliamo trovare i quadrati di tutti i numeri pari, a partire dal quadrato di 2, ossia 4, basta aggiungere ad esso di seguito 8 e i suoi multipli aumentati di 4, come appresso:
4 (quadrato di 2) + 12 (8+4) = 16 (quadrato di 4) + 20 (16+4) = 36 (quadrato di 6) + 28 (24+4) = 64 (quadrato di 8) + 36 (32+4) = 100 (quadrato di 10) + 44 (40+4) = 144 (quadrato di 12) + 52 (48+4) = 196 (quadrato di 14); ecc…
b) Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di due cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.
Se a e b sono rispettivamente le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:
n2 =a2 · 100 + 2ab · 10 + b2
Così, dovendo trovare il quadrato di 56, applicando la formula, avremo:
562 =52 · 100 + 2 · 5 · 6 · 10 + 62 =
Esiste anche una formula per trovare il quadrato di un numero di tre cifre, alla quale, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo ricorrere, tutte le volte che troviamo la convenienza.
Se a, b e c sono rispettivamente le centinaia, le decine e le unità del numero, abbiamo la seguente formula aritmetica:
n2=a2 · 10000+2ab · 1000+2ac · 100+b2 · 100+2bc · 10+c2
Così, dovendo trovare il quadrato di 125, applicando la formula, avremo:
125 = 12·10.000 + 1·2·2·1000 + 1·5·2·100 +
+ 2·5·2·10 + 22·100 + 52 = 10.000 + 4000 + 1000 + +400+200+25=15.625
- la loro somma è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro differenza: a+b=(a2 - b2) : (a-b);
- la loro differenza è data dalla differenza dei loro quadrati diviso la loro somma: a-b=(a2 - b2) : (a+b);
- il numero maggiore è dato dalla differenza tra il suo quadrato e il loro prodotto diviso la loro differenza: a=a2 – ab : (a-b);
- il numero minore è dato dalla differenza tra il loro prodotto e il suo quadrato diviso la loro differenza: b=ab-b2 : (a-b).
In pratica, avremo:
Se il prodotto dei due numeri consecutivi a e b è 12 e i loro rispettivi quadrati sono 16 e 9, nonché si conosce la loro differenza 1 oppure la loro somma 7, applicando le formule, avremo:
a+b=(a2 - b2) : (a-b)=(16-9) : 1=7 : 1 =7;
a-b=(a2 - b2) : (a-b)=(16-9) : 7=7 : 7 =1;
a=a2-ab : (a-b)=16-12=4;
b=ab-b2 : (a-b)=(12-9) : 1 = 3 : 1 =3
Inoltre, il prodotto dei due numeri è medio proporzionale tra i due quadrati: a2 : ab = ab : b2. Perciò avremo:16 : 12 = 12 : 9.
Se la differenza fra due numeri consecutivi è sempre 1, la differenza fra i loro quadrati è la loro somma. Prendendo ad esempio la coppia di numeri 6 e 5, la loro differenza è 1
(6 – 5 = 1); mentre la differenza dei loro quadrati è 11 (6 + 5 = 11). Infatti, 36 – 25 = 11.
9) IL MEDIANO E I SUOI SIMMETRICI
Dato un numero n, che chiameremo mediano, le coppie di numeri formati con l’aggiunta e la sottrazione di 1, oppure di 2, ecc… sono detti suoi simmetrici. Perciò i simmetrici di 7 sono 7 + 1 = 8 e 7 – 1 = 6. Dei due simmetrici, il primo è detto maggiore e il secondo è detto minore. Le coppie di simmetrici di un mediano non sono illimitate, poiché il loro numero è uguale al mediano diminuito di una unità. Ossia, se il mediano è 15, le coppie di simmetrici ad esso appartenenti sono in tutto 14, ossia 14 e 16, 13 e 17, 12 e 18, 11 e 19, ecc...
Adesso possiamo dire che il quadrato di un mediano è dato anche dalla somma del prodotto dei suoi simmetrici più il quadrato della loro semidifferenza. Perciò avremo:
42 = 5 · 3 + 12 = 15 + 1 = 16 (Qui i simmetrici sono stati ottenuti con +1 e -1)
72 = 9 · 5 + 22 = 45 + 4 = 49 (Qui i simmetrici sono stati ottenuti con +2 e -2)
Se si conoscono due numeri simmetrici, il loro mediano è uguale alla loro semisomma. Perciò, se abbiamo i simmetrici 10 e 8, il loro mediano è:
(10 + 8) : 2 = 18 : 2 = 9
In geometria, se il mediano rappresenta il lato di un quadrato, i suoi simmetrici rappresentano le dimensioni di un rettangolo. In tal caso, diciamo che il quadrato e il rettangolo sono in relazione fra loro. Per cui, se un quadrato e un rettangolo sono in relazione fra loro, il lato del quadrato va considerato mediano e le dimensioni del rettangolo vanno considerate suoi simmetrici. La qual cosa può facilitarci la soluzione di alcuni problemi geometrici.
Un quadrato e un rettangolo, che ha per dimesioni cm 7 e cm 9, sono in relazione fra loro. Trovare l’area del quadrato.
Essendo 7 e 9 simmetrici, il loro mediano è il lato del quadrato. Perciò:
? = (7 + 9) : 2 = 16 : 2 = cm 8; da cui:
A = ?2 = 82 = cm2 64
Un rettangolo e un quadrato, che ha per lato cm 13, sono in relazione fra loro. Trovare l’area del rettangolo, la cui dimensione minore misura cm 11.
Se 13 è il mediano e 11 è il simmetrico minore, la dimensione maggiore del rettangolo è cm 15. Allora l’area del rettangolo sarà uguale a:
A = 15 · 11 = cm2 165
10) RADICE DEI QUADRATI DEI NUMERI DA 11 A 99
Per trovare la radice del quadrato di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che, se il quadrato termina con 1, come unità della radice si avrà 1 o 9, se il quadrato termina con 4, come unità della radice si avrà 2 o 8; se il quadrato termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6; se il quadrato termina con 5, come unità della radice si avrà 5. Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.
1) si staccano nel quadrato due cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime due, come appresso: 256 diventa 2'56; 1156 diventa 11'56.
2) si vede qual è il quadrato più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 2 e in 11. Così conosceremo anche le decine della radice dei quadrati in questione. Come possiamo renderci conto, 1 è il quadrato più grande che è contenuto nel 2, per cui la sua radice è 1; mentre 9 è il quadrato più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 3.
3) siccome 256 termina con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Allora bisognerà moltiplicare la radice delle decine (1) per il suo successivo (2). Se il prodotto è contenuto nella prima parte del quadrato (2), si avrà 6; se invece non è contenuto, si avrà 4. Nel nostro caso, il 2 (1·2) è contenuto nel 2, per cui la radice delle unità sarà 6. Quindi, avremo che la radice quadrata di 256 è 16.
Se consideriamo 1156, terminando esso con 6, come unità della radice si avrà 4 o 6. Moltiplicando la radice delle decine (3) per il suo successivo (4), avremo come prodotto 12. Siccome esso non è contenuto nell'11, la radice delle unità sarà 4. Quindi, avremo che la radice quadrata di 1156 è 34.
Altri esempi:
Se il quadrato è 121 (1'21), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome il 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 1. Quindi la radice quadrata di 121 è 11.
Se il quadrato è 361 (3'61), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 1, la radice delle unità è 1 o 9. Siccome 2 (1·2) è contenuto nel 3, la radice delle unità è 9. Quindi, la radice quadrata di 361 è 19.
Se il quadrato è 324 (3'24), la radice delle decine (3) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome il 2 (1·2) è contenuto nell'3, la radice delle unità è 8. Quindi la radice quadrata di 324 è 18.
Se il quadrato è 144 (1'44), la radice delle decine (1) è 1. Terminando esso con 4, la radice delle unità è 2 o 8. Siccome 2 (1·2) non è contenuto nell'1, la radice delle unità è 2. Quindi, la radice quadrata di 144 è 12.
Se il quadrato è 625 (6'25), la radice delle decine (6) è 2. Terminando esso con 5, la radice delle unità può essere solo 5. Quindi, la radice quadrata di 625 è 25.
11) RADICE DEI CUBI DEI NUMERI DA 11 A 99
Per trovare la radice del cubo di un numero compreso tra 11 e 99, si segue il procedimento sotto riportato. Ma prima occorre sapere che: a) 1 è il cubo di 1, 8 è il cubo di 2, 27 è il cubo di 3, 64 è il cubo di 4, 125 è il cubo di 5, 216 è il cubo di 6, 343 è il cubo di 7, 512 è il cubo di 8, 729 è il cubo di 9; b) se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:
se il cubo termina con 2, la radice delle unità sarà 8; se invece termina con 8, la radice delle unità sarà 2. Se il cubo termina con 3, la radice delle unità sarà 7, se invece termina con 7, la radice delle unità sarà 3.
Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.
1) si staccano nel cubo tre cifre, da destra verso sinistra, che sarebbero poi le ultime tre, come appresso: 19683 diventa 19'683; 79507 diventa 79'507.
2) si vede qual è il cubo più grande che è contenuto nella parte di sinistra, nel nostro caso in 19 e in 79. Così conosceremo anche le decine della radice dei cubi in questione. Come possiamo renderci conto, 8 è il cubo più grande che è contenuto nel 19, per cui la sua radice è 2; mentre 64 è il cubo più grande che è contenuto nell'11, per cui la sua radice è 4.
3) Per conoscere la radice delle unità, basta rifarsi a quanto detto sopra, ossia: se il cubo termina con 1, 9, 4, 6 e 5, tali cifre resteranno anche nelle unità delle rispettive radici; se il cubo termina con 2, 8, 3 e 7, le unità delle rispettive radici saranno i loro complementari. Ossia:
se il cubo termina con 2, la radice delle unità sarà 8; se invece termina con 8, la radice delle unità sarà 2. Se il cubo termina con 3, la radice delle unità sarà 7, se invece termina con 7, la radice delle unità sarà 3. Ma ora passiamo a conoscere il procedimento.
Nel caso che prendiamo in considerazione i cubi 19683 e 79507, le unità della radice cubica del primo quadrato sono 7, per cui la sua radice cubica risulta 27; mentre le unità della radice cubica del secondo cubo sono 3, per cui la sua radice cubica diventa 43.
12) MOLTIPLICAZIONI DIRETTE MEDIANTE IL GRAFICO
Per eseguire una moltiplicazione diretta bisogna memorizzare il grafico posto sulla sinistra (il grafico si ottiene, unendo ogni estremo superiore di una linea con gli estremi inferiori delle altre linee), tenendo presente: 1) ogni linea rappresenta un prodotto dato dai due fattori posti ai suoi estremi; 2) ogni pallino centrale indica un prodotto o la somma di due o più prodotti, a seconda delle linee che passano per esso; 3) alle somme centrali dei prodotti, come pure al prodotto finale, va aggiunto l'eventuale riporto.
23 · 14 = ---------- 322
|
Nella moltiplicazione 23 · 14, avremo: 4 · 3 =12 (2 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 3 = 11 + 1 (riporto) = 12 (2 si scrive e 1 si riporta); 1 · 2 = 2 + 1 (riporto) = 3 (si scrive 3) Risultato finale: 322
|
123 · 243 = ------------- 29.889
1234 · 2104 =
---------------
|
Nella moltiplicazione 123 · 243, avremo: 3 · 3 = 9 (si scrive 9); 3 · 2 + 4 · 3 = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 3 · 1 + 2 · 3 + 4 · 2 = 17 + 1 (riporto) = 18 (8 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 2 · 1 = 2 (si scrive 2) Risultato finale: 29.889
Nella moltiplicazione 1234 · 2104, avremo: 4 · 4 = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 4 · 3 + 0 · 4 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 2 + 1 · 4 + 0 · 3 = 12 + 1 (riporto) = 13 (3 si scrive e 1 si riporta); 4 · 1 + 2 · 4 + 1 · 3 + 0 · 2 =15 + 1 (riporto) = 16 (6 si scrive e 1 si riporta); 2 • 3 + 0 • 1 + 1 • 2 = 8 + 1 (riporto) = 9 (si scrive 9); 1 • 1 + 2 • 2 = 5 (si scrive 5); 2 • 1 = 2 (si scrive 2) Risultato finale: 2.596.336 |
13) TABELLINE COME PRODOTTI E DIFFERENZE
Il risultato di una tabellina può essere ottenuto, anche senza imparare a memoria una parte di esse, nel modo seguente:
1) le unità si ottengono, moltiplicando i complementari del 10 dei due fattori (quando il prodotto supera il 9, la decina in più si aggiunge alle altre decine); mentre le decine si
ottengono, sommando le loro differenze dal 5. Sono chiamati complementari del 10 le coppie di numeri la cui somma dà 10, come: 1 e 9; 2 e 8; 3 e 7; 4 e 6; 5 e 5. Al riguardo, si fa
presente che, se 1 è complementare di 9, anche 9 è complementare di1. La stessa cosa vale anche per le altre coppie. Vediamo alcuni esempi:
Nella tabellina 9·7, le unità sono date da 1x3=3 (1 è complementare di 9 e 3 è complementare di 7); mentre le decine sono date da (9-5)+(7-5)=4+2= 6. Il risultato, quindi, è 63.
Nella tabellina 8·7, le unità sono date da 2x3=6 (2 è complementare di 8 e 3 è complementare di 7); mentre le decine sono date da (8-5)+(7-5)=3+2=5. Il risultato, quindi, è 56.
Nella tabellina 8·6, le unità sono date da 2x4=8 (2 è complementare di 8 e 4 è complementare di 6); mentre le decine sono date da (8-5)+(6-5)=3+1= 4. Il risultato, quindi, è 48.
Nella tabellina 7·6, le unità sono date da 3x4=12 (2 unità più una decina, che viene riportata) (3 è complementare di 7 e 4 è complementare di 6); mentre le decine sono date da
(7-5)+(6-5)=2+1=3 (più la decina di riporto). Il risultato, quindi, è 42.
Nella tabellina 5·4, le unità sono date da 5x6=30 (0 unità più 3 devine, che vengono riportate) (5 è complementare di 5 e 6 è complementare di 4); mentre le decine sono date da
(5-5)+(5-6)=0-1= -1. Il risultato, quindi, è 20.
14) COMPLEMENTARI DI 100, 1000, 10.000, ECC...
Allo stesso modo, si comportano i complementari di 100, 1000, 10000, ecc..., per cui i prodotti di quei fattori prossimi a 100, 1000, 10000, ecc..., si possono ottenere facilmente, ricorrendo alle stesse due regole apprese con le tabelline, tenendo presente che i complementari del 100 sono 1 e 99, 2 e 98, 3 e 97, ecc...; quelli del 1000 sono 1 e 999, 2 e 998, 3 e 997, ecc...; quelli di 10000 sono 1 e 9999, 2 e 9998, 3 e 9997, ecc...
Esempi con i complementari del 100:
Nella moltiplicazione 98 · 97, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 98 - 3 (complementare di 97) = 95 oppure 97 - 2 (complementare di 98) = 95. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 2 · 3 = 6, ossia 06. Il risultato, quindi, è : 9.506.
Nella moltiplicazione 95 · 91, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 95 - 9 (complementare di 91) = 86 oppure 91 - 5 (complementare di 95) = 86. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 5 · 9 = 45. Il risultato, quindi, è: 8.645.
Nella moltiplicazione 89 · 89, le prime due cifre (migliaia e centinaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro, che in questo caso è uguale per entrambi: 89 - 11 (complementare di 89) = 78. Le due cifre finali (decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 11 · 11 = (1)21. (Il centinaio, che avanza (1), va aggiunto alle prime due cifre del risultato, diventando 79). Il risultato, quindi, è: 7.921.
Esempi con i complementari del 1000:
Nella moltiplicazione 999 · 998, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 999 - 2 (complementare di 998) = 997 oppure 998 - 1 (complementare di 999) = 997. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 1 · 2 = 2, ossia 002. Il risultato, quindi, è: 997.002.
Nella moltiplicazione 996 · 995, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 996 - 5 (complementare di 995) = 991 oppure 995 - 4 (complementare di 996) = 991. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 4 · 5 = 20, ossia 020. Il risultato, quindi, è: 991.020.
Nella moltiplicazione 990 · 989, le prime tre cifre (centinaia di migliaia, decine di migliaia e migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 990 - 11 (complementare di 989) = 979 oppure 989 - 10 (complementare di 990) = 979. Le tre cifre finali (centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 10 · 11 = 110. Il risultato, quindi, è: 979.110.
Esempi con i complementari del 10.000:
Nella moltiplicazione 9994 · 9993, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9994 - 7 (complementare di 9993) = 9987 oppure 9993 - 6 (complementare di 9994) = 9987. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 6 · 7 = 42, ossia 0042. Il risultato, quindi, è: 99.870.042.
Nella moltiplicazione 9999 · 9991, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9999 - 9 (complementare di 9991) = 9990 oppure 9991 - 1 (complementare di 9999) = 9990. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 1 · 9 = 9, ossia 0009. Il risultato, quindi, è: 99.900.009.
Nella moltiplicazione 9990 · 9985, le prime quattro cifre (decine di milioni, milioni, centinaia di migliaia e decine di migliaia) si ottengono, sottraendo ad uno dei fattori il complementare dell'altro: 9990 - 15 (complementare di 9985) = 9975 oppure 9985 - 10 (complementare di 9990) = 9975. Le quattro cifre finali (migliaia, centinaia, decine e unità) si ottengono, moltiplicando tra di loro i complementari dei due fattori: 10 · 15 = 150, ossia 0150. Il risultato, quindi, è: 99.870.042.
15) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 5
a) Se si moltiplicano due numeri terminanti con 5, il numero formato dalle ultime due cifre del prodotto sarà 25 o 75. Sarà 25, quando la somma dei due numeri che precedono il 5 è un numero pari; sarà invece 75, se è un numero dispari.
Esempio:
Se moltiplichiamo 25·45, il risultato avrà come ultime due cifre 25, poiché 2 + 4 = 6 (numero pari). Infatti, il risultato sarà: 1125.
Se moltiplichiamo 15·65, il risultato avrà come ultime due cifre 75, poiché 1 + 6 = 7 (numero dispari). Infatti, il risultato sarà: 975.
b) Per ottenere le restanti cifre del prodotto, quelle che precedono 25 o 75, bisogna moltiplicare tra loro i due numeri formati dalle cifre che precedono il 5 ed aggiungere al prodotto ottenuto la metà intera della somma degli stessi. Se la somma risulta un numero dispari, bisogna sottrarre ad essa una unità (1), prima di ricavare la metà.
Se moltiplichiamo 25·45, sapendo che il risultato avrà come ultime due cifre 25, per ottenere le cifre che precedono 25, bisogna moltiplicare 2 · 4 ed aggiungere al prodotto (8) la metà intera della loro somma, che è: (2 + 4) : 2 = 3. Quindi, premettendo 11 (8 + 3) a 25, avremo come risultato: 1125.
Se moltiplichiamo 15·65, sapendo che il risultato avrà come ultime due cifre 75, per ottenere le cifre che precedono 75, bisogna moltiplicare 1 · 6 ed aggiungere al prodotto (6) la metà intera della loro somma, che è: (1 + 6 -1) : 2 = 3. Quindi, premettendo 9 (6 + 3) a 75, avremo come risultato: 975.
16) MOLTIPLICAZIONI CON NUMERI COMPRESI TRA 11 E 19
Quando la moltiplicazione avviene tra due numeri, di cui uno è compreso tra 11 e 19, il prodotto si ottiene in questo modo: le unità si ricavano, moltiplicando le unità tra di loro (se ci sono anche decine, queste si riportano). Le altre cifre sono date dal numero ottenuto, aggiungendo al fattore maggiore: 1) l'eventuale riporto; 2) il risultato ottenuto, moltiplicando le decine del fattore maggiore con le unità del fattore minore.
Ecco alcuni esempi:
Se moltiplichiamo17·15, per ottenere le unità, si moltiplicano 7 · 5 = (3)5 (3 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 17 (fattore maggiore) prima il riporto 3 (17 + 3 = 20) e poi il risultato di 1 · 5 = 5 (20 + 5 = 25). Per cui il risultato finale sarà: 255.
Se moltiplichiamo 27·12, per ottenere le unità, si moltiplicano 7 · 2 = (1)4 (1 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 27 (fattore maggiore) prima il riporto 1 (27 + 1 = 28) e poi il risultato di 2 · 2 = 4 (28 + 4 = 32). Per cui il risultato finale sarà: 324.
Se moltiplichiamo 31·15, per ottenere le unità, si moltiplicano 1 · 5 = 5; il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 31 (fattore maggiore) il risultato di 3 · 5 = 15 (31+ 15 = 46). Per cui il risultato finale sarà: 465.
Se moltiplichiamo 99·14, per ottenere le unità, si moltiplicano 9 · 4 = (3)6 (3 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 99 (fattore maggiore) prima il riporto 3 (99 + 3 = 102) e poi il risultato di 9 · 4 = 36 (102 + 36 = 138). Per cui il risultato finale sarà: 1.386.
Se moltiplichiamo 108·12, per ottenere le unità, si moltiplicano 8 · 2 = (1)6 (1 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 108 (fattore maggiore) prima il riporto 1 (108 + 1 = 109) e poi il risultato di 10 · 2 = 20 (109 + 20 = 129). Per cui il risultato finale sarà: 1.296.
Se moltiplichiamo 219·13, per ottenere le unità, si moltiplicano 9 · 3 = (2)7 (2 è il riporto); il numero, che precede le unità, si ottiene aggiungendo a 219 (fattore maggiore) prima il riporto 2 (219 + 2 = 221) e poi il risultato di 21 · 3 = 63 (221 + 63 = 284). Per cui il risultato finale sarà: 2.847.
Comunque, le moltiplicazioni per 11 possiamo ottenerle, come viene spiegato di seguito:
Se dobbiamo moltiplicare 11 per il numero n, le unità del prodotto restano quelle di n; mentre le cifre precedenti sono date dal numero formato da n più il numero che precede le unità di n.
Dovendo moltiplicare 525 · 11, come unità avremo 5; mentre le cifre precedenti sono date da 525+52, ossia 577. Per cui il risultato sarà: 5775.
Dovendo moltiplicare 47 · 11, come unità avremo 7; mentre le cifre precedenti sono date da 47+4, ossia 51. Per cui il risultato sarà: 517.
17) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 1
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 1, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 1. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori 10 e i due numeri che precedono le unità, più la somma di questi due ultimi fattori. Esempi:
Se moltiplichiamo 31·21, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 3 · 2 + (3 + 2)= = 60 + 5 = 65. Infatti, il risultato è: 651.
Se moltiplichiamo 41·41, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 4 + (4 + 4)= = 160 + 8 = 168. Infatti, il risultato è: 1.681.
Se moltiplichiamo 701·31, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 70 · 3 + (70 + 3) = 2.100 + 73 = 2.173. Infatti, il risultato è: 21.731.
18) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 9
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 9, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 1. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori 10 e i due numeri che precedono il 9 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori.
Esempi:
Se moltiplichiamo 39·29, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 ·4 · 3 - (4 + 3) = 120 - 7 = 113. Quindi, il risultato è: 1.131.
Se moltiplichiamo 49·49, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 5 - (5 + 5) = = 250 - 10 = 240. Quindi, il risultato è: 2.401.
Se moltiplichiamo 709·39, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 71 · 4 - (71 + 4) = 2840 - 75 = 2.765. Quindi, il risultato è: 27.651.
Se moltiplichiamo 59·29, 1 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 3 - (6 + 3) = 180 - 9 = 171. Quindi, il risultato è: 1.711.
19) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 2
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 2, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 4. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 2, più la somma di questi ultimi due fattori raddoppiati. Esempi:
Se moltiplichiamo 12·12, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (2 + 2) =10 + 4 = 14. Quindi, il risultato è: 144.
Se moltiplichiamo 42·22, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 2 + (8 + 4) =80 + 12 = 92. Quindi, il risultato è: 924.
Se moltiplichiamo 52·32, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 + (10 + 6)= 150 + 16 = 166. Quindi, il risultato è: 1.664.
20) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 8
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 8, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 4. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono l'8 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori raddoppiati. Esempi:
Se moltiplichiamo 18·18, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (4 + 4)= =40 - 8 = 32. Quindi, il risultato è: 324.
Se moltiplichiamo 48·28, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 - (10 + 6)= 150 - 16 = 134. Quindi, il risultato è: 1.344.
Se moltiplichiamo 98·38, 4 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 10 - (20 + 8) =400 - 28 = 372. Quindi, il risultato è: 3.724.
21) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 3
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 3, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 9. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 3, più la somma di questi ultimi due fattori triplicati. Esempi:
Se moltiplichiamo 13·13, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (3 + 3)= =10 + 6 = 16. Quindi, il risultato è: 169.
Se moltiplichiamo 43·13, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 1 + (12 + 3) =40 + 15 = 55. Quindi, il risultato è: 559.
Se moltiplichiamo 53·23, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 2 + (15 + 6) =100 + 16 = 116. Quindi, il risultato è: 1.669.
22) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 7
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 7, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 9. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 7 aumentati di una unità, meno la somma di questi due ultimi fattori triplicati. Esempi:
Se moltiplichiamo 17·17, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (6 + 6) =40 - 12 = 28. Quindi, il risultato è: 289.
Se moltiplichiamo 37·17, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 4 · 2 - (12 + 6) =80 - 18 = 62. Quindi, il risultato è: 629.
Se moltiplichiamo 47·27, 9 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 5 · 3 - (15 + 9) =150 - 24 = 126. Quindi, il risultato è: 1269.
23) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 4
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 4, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 6. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 4, più la somma di questi ultimi due fattori quadruplicati, più l'unità. Esempi:
Se moltiplichiamo 14·14, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 1 · 1 + (4 + 4 + 1) =10 + 9 = 19. Quindi, il risultato è: 196.
Se moltiplichiamo 34·24, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 3 · 2 + (12 + 8 +1) =60 + 21 = 81. Quindi, il risultato è: 816.
Se moltiplichiamo 64·44, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 4 + (24 + 16 +1) =240 + 41 = 281. Quindi, il risultato è: 2.816.
24) MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI TERMINANTI CON 6
Se si moltiplicano due numeri terminanti con 6, dei quali uno di due cifre, esso avrà come unità 6. Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è uguale al prodotto, che ha per fattori il 10 e i due numeri che precedono il 6 aumentati di una unità, meno la somma degli ultimi due fattori quadruplicati diminuita di una unità.
Esempi:
Se moltiplichiamo 16·16, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 2 · 2 - (8 + 8 - 1) =40 - 15 = 25. Quindi, il risultato è: 256.
Se moltiplichiamo 56·26, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 6 · 3 - (24 + 12 -1) =180 - 35 = 145. Quindi, il risultato è: 1.456.
Se moltiplichiamo 76·66, 6 è la cifra finale; mentre il numero che lo precede è uguale a: 10 · 8 · 7 - (32 + 28 - 1) =560 - 59 = 501. Quindi, il risultato è: 5.016.
25) REGOLA RIEPILOGATIVA DELLE MOLTIPLICAZIONI TRA DUE FATTORI CHE TERMINANO CON 1, 9, 2, 6, 3, 7, 4, 6.
Se si moltiplicano due numeri terminanti entrambi con 1 o 9, con 2 o 8, con 3 o 7, con 4 o 6, le unità risultano 1 (nel caso di 1 e 9), 4 (nel caso di 2 e 8), 9 (nel caso di 3 e 7), 6 (nel caso di 4 e 6).
Quanto al numero formato dalle cifre precedenti, esso è dato da un'addizione (se i due fattori terminano con 1, 2, 3, 4) o da una sottrazione (se i due fattori terminano con 9, 8, 7, 6).
Il primo addendo dell'addizione è dato dal prodotto avente come fattori il 10 e i due numeri che precedono le unità 1, 2, 3, 4; mentre il secondo addendo è dato dalla somma unitaria, doppia, tripla o quadrupla dei due fattori diversi da 10, secondo che le unità siano 1, 2, 3 o 4 (nel caso di 4, alla quadrupla somma si aggiunge 1).
Il minuendo della sottrazione è dato dal prodotto avente come fattori il 10 e i due numeri che precedono le unità 9, 8, 7 6, ciascuno aumentato di 1; mentre il sottraendo è dato dalla somma unitaria, doppia, tripla o quadrupla dei due fattori diversi da 10, secondo che le unità siano 9, 8, 7 o 6, che sono rispettivamente i complementari di 1, 2, 3 e 4 (nel caso di 6, alla quadrupla somma si aggiunge 1)
26) MOLTIPLICAZIONI PER 5
Per moltiplicare un numero per 5, basta dividerlo per 2. Se il risultato è un numero intero, bisogna aggiungere ad esso uno 0; se invece è un numero decimale, bisogna considerarlo senza la virgola.
Esempi:
4 · 5 = 2 con l'aggiunta dello 0, ossia 20
7 · 5 = 3,5 senza la virgola, ossia 35
36 · 5 = 18 con l'aggiunta dello 0, ossia 180
15 · 5 = 7,5 senza la virgola, ossia 75.
La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 5.
27) MOLTIPLICAZIONI PER 9
Se si moltiplica un numero per 9, il prodotto avrà come unità il complementare della cifra finale del numero stesso. Invece le cifre precedenti sono date dal numero che si ottiene, sottraendo ad esso il numero formato dalle sue cifre, senza considerare quella finale, più l'unità. Nei numeri da 1 a 9, tale numero da sottrarsi corrisponde a 0, che, con l'aggiunta di 1, diventa 1. Non si aggiunge 1, quando il numero termina con 0.
Esempi:
- Nel prodotto 3 · 9 = 03 · 9, come cifra finale, abbiamo 7, complementare di 3; mentre la cifra precedente è data da 3 – 1 (0+1), ossia 2. Perciò il risultato è 27.
Nel prodotto 10 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 10 – 1 (1+0), ossia 9. Perciò il risultato è 90.
- Nel prodotto 14 · 9, come cifra finale, abbiamo 6, complementare di 4; mentre la cifra precedente è data da 14 – 2 (1+1), ossia 12. Perciò il risultato è 126.
Nel prodotto 20 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 20 – 2 (2+0), ossia 18. Perciò il risultato è 180.
- Nel prodotto 135 · 9, come cifra finale, abbiamo 5, complementare di 5; mentre la cifra precedente è data da 135 – 14 (13+1), ossia 121. Perciò il risultato è 1215.
Nel prodotto 160 · 9, come cifra finale, abbiamo 0, complementare di 0; mentre la cifra precedente è data da 160 – 16 (16+0), ossia 144. Perciò il risultato è 1440.
La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 9.
28) MOLTIPLICAZIONI PER 6
Il prodotto di un numero moltiplicato per 6, sarà uguale alle decine della sua metà più il numero stesso.
Esempi:
- Nel prodotto 8 · 6, il risultato è uguale alle decine di 8 : 2 (4=40) più 8. Per cui abbiamo: 40 + 8 = 48.
Nel prodotto di 9 · 6, il risultato è uguale alle decine di 9 : 2 (4,5=45) più 9. Per cui abbiamo: 45 + 9 = 54.
- Nel prodotto 24 · 6, il risultato è uguale alle decine di 24 : 2 (12=120) più 24. Per cui abbiamo: 120 + 24 = 144.
Nel prodotto 43 · 6, il risultato è uguale alle decine di 43 : 2 (21,5=215) più 43. Per cui abbiamo: 215 + 43 = 258.
- Nel prodotto 412 · 6, il risultato è uguale alle decine di 412 : 2 (206=2060) più 412. Per cui abbiamo: 2060 + 412 = 2472.
Nel prodotto 625 · 6, il risultato è uguale alle decine di 625 : 2 (312,5=3125) più 625. Per cui abbiamo: 3125 + 625 = 3750.
La regola può applicarsi, al posto della tabellina del 6.
29) MOLTIPLICAZIONI PER 8
Il prodotto di un numero moltiplicato per 8 sarà uguale al numero che ha per unità la doppia differenza tra 5 e le unità del numero stesso (se termina con 1, 2, 3, 4, 5) oppure tra 10 e le unità del numero stesso (se termina con 6, 7, 8, 9). Mentre le cifre che precedono le unità sono date dalla differenza tra il numero stesso e il doppio del numero che precede le unità. A quest'ultimo va aggiunto 1, se il numero termina con 1, 2, 3, 4, 5; va aggiunto 2, se termina con 6, 7, 8, 9; non va aggiunto niente, se termina con 0.
Esempi:
- Nel prodotto 4 · 8, le unità sono: 2 · (5-4) = 2; mentre il numero precedente è: 4 – (2·0+1) = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 32.
- Nel prodotto 7 · 8, le unità sono: 2 · (10-7) = 6; mentre il numero precedente è: 7 – (2·0+2) = 7 – 2 = 5. Quindi, il risultato è 56.
- Nel prodotto 13 · 8, le unità sono: 2 · (5-3) = 4; mentre il numero precedente è: 13 – (2·1+1) = 13 – 3 = 10. Quindi, il risultato è 104.
- Nel prodotto 168 · 8, le unità sono: 2 · (10-8) = 4; mentre il numero precedente è : 168 – (2·16+2) = 168 – 34 = 134. Quindi, il risultato è 1344.
La regola può applicarsi, al posto della tabellina dell'8.
30) MOLTIPLICAZIONI PER 7
a) Il prodotto di un numero pari per 7 è uguale al numero avente come unità il suo doppio e come restanti cifre la sua metà più l'eventuale riporto.
Esempi:
- Nel prodotto 4 · 7, le unità sono: 2 · 4 = 8; mentre le restanti cifre sono: 4 : 2 = 2. Quindi, il risultato è 28.
- Nel prodotto 8 · 7, le unità sono: 2 · 8 = 16 (6 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 8 : 2 + 1 = 5. Quindi, il risultato è 56.
- Nel prodotto 32 · 7, le unità sono: 2 · 32 = (4 unità e 6 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 32 : 2 + 6 = 22. Quindi, il risultato è 224.
b) Il prodotto di un numero dispari per 7 è uguale al numero avente come unità il suo doppio più 5 e come restanti cifre la sua metà per difetto più l'eventuale riporto. Esempi:
- Nel prodotto 9 · 7, le unità sono: 2 · 9 + 5 = 23 (3 unità e 2 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 9 : 2 = 4 + 2 = 6. Quindi, il risultato è 63.
- Nel prodotto 27 · 7, le unità sono: 27 · 2 + 5 = 59 (9 unità e 5 di riporto); mentre le restanti cifre sono: 27 : 2 = 13 + 5 = 18. Quindi, il risultato è 189.
Le due regole possono applicarsi, al posto della tabellina del 7.
31) MOLTIPLICAZIONI PER 4
a) Il prodotto di un numero pari per 4 è uguale al numero avente come unità il complementare di 10 delle unità e come restanti cifre la sua metà meno il numero che precede le unità aumentato di 1.
Esempi:
- Nel prodotto 8 · 4, le unità sono: 10 – 8 = 2; mentre le restanti cifre sono: 8 : 2 - (0+1) = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 32.
- Nel prodotto 44 · 4, le unità sono: 10 – 4 = 6; mentre le restanti cifre sono: 44 : 2 – (4+1) = 22 – 5 = 17. Quindi, il risultato è 176.
b) Il prodotto di un numero dispari per 4 è uguale al numero avente come unità il complementare di 10 delle unità aumentato di 5 e come restanti cifre la metà per difetto del numero aumentato del riporto meno il numero che precede le unità aumentato di 1.
Esempi:
- Nel prodotto 9 · 4, le unità sono: 10 – 9 + 5 = 6; mentre le restanti cifre sono: 9 : 2 – 1 = 4 – 1 = 3. Quindi, il risultato è 36.
- Nel prodotto 5 · 4, le unità sono: 10 – 5 + 5 = 10 (0 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: (5+1) : 2 – 1 = 6 : 2 – 1 = 3 – 1 = 2. Quindi, il risultato è 20.
- Nel prodotto 17 · 4, le unità sono: 10 – 7 + 5 = 8; mentre le restanti cifre sono: 17 : 2 – (1+1) = 8 – 2 = 6. Quindi, il risultato è 68.
- Nel prodotto 123 · 4, le unità sono: 10 – 3 + 5 = 12 (2 unità e 1 di riporto); mentre le restanti cifre sono: (123+1) : 2 – (12+1) = 62 – 13 = 49. Quindi, il risultato è 492.
Le due regole possono applicarsi, al posto della tabellina del 4.
32) NUOVO SISTEMA NUMERICO IN LETTERE35) Nomi dei Multipli e dei Sottomultipli delle Potenze del 10
I Nomi dei Multipli e dei Sottomultipli delle Potenze del 10 sono stati ottenuti con le consonanti numeriche b, f, k, l, m, p, r, s, t e con la consonante x. In essi, i valori delle vocali o e u, che diventano c e h nei simboli, sono 101 e 102 nei multipli e 10-1 e 10-2 nei sottomultipli; mentre la consonante x ha il valore di 1 e la vocale e non ha alcun valore. Per ottenere gli zeri indicati dalle consonanti numeriche, bisogna moltiplicare per 3 il loro valore. Nella terza colonna delle due tabelle, vengono riportati i prefissi (nella prima) e i suffissi (nella seconda) dei rispettivi nomi, assumendone i valori positivi (nella prima) e quelli negativi (nella seconda).
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
xeix=unità |
100 |
X |
|
xoix=decina |
101 |
xoi |
Xc |
xuix=centinaio |
102 |
xui |
Xh |
beix=migliaio |
103 |
bei |
B |
boix=il diecimigliaio |
104 |
boi |
Bc |
buix=il centomigliaio |
105 |
bui |
Bh |
feix=milione |
106 |
fei |
F |
foix=il diecimilioni |
107 |
foi |
Fc |
fuix=il centomilioni |
108 |
fui |
Fh |
keix=bilione |
109 |
kei |
K |
koix=il diecibilioni |
1010 |
koi |
Kc |
kuix=il centobilioni |
1011 |
kui |
Kh |
leix=trilione |
1012 |
lei |
L |
loix=il diecitrilioni |
1013 |
loi |
Lc |
luix=il centotrilioni |
1014 |
lui |
Lh |
meix=quadrilione |
1015 |
mei |
M |
moix=il dieciquadrilioni |
1016 |
moi |
Mc |
muix=il centoquadrilioni |
1017 |
mui |
Mh |
peix=quintilione |
1018 |
pei |
P |
poix=il dieciquintilioni |
1019 |
poi |
Pc |
puix=il centoquintilioni |
1020 |
pui |
Ph |
reix=sestilione |
1021 |
rei |
R |
roix=il diecisestilioni |
1022 |
roi |
Rc |
ruix=il centosestilioni |
1023 |
rui |
Rh |
seix=settilione |
1024 |
sei |
S |
soix=il diecisettilioni |
1025 |
soi |
Sc |
suix=il centosettilioni |
1026 |
sui |
Sh |
teix=ottilioni |
1027 |
tei |
T |
toix=il dieciottilioni |
1028 |
toi |
Tc |
tuix=il centoottilioni |
1029 |
tui |
Th |
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
xiox=decimo |
10-1 |
iox |
cx |
xiux=centesimo |
10-2 |
iux |
hx |
xieb=millesimo |
10-3 |
ieb |
xb |
xiob=decimillesimo |
10-4 |
iob |
cb |
xiub=centimillesimo |
10-5 |
iub |
hb |
xief=milionesimo |
10-6 |
ief |
xf |
xiof=decimilionesimo |
10-7 |
iof |
cf |
xiuf=centimilionesimo |
10-8 |
iuf |
hf |
xiek=bilionesimo |
10-9 |
iek |
xk |
xiok=decibilionesimo |
10-10 |
iok |
ck |
xiuk=centibilionesimo |
10-11 |
iuk |
hk |
xiel=trilionesimo |
10-12 |
iel |
xl |
xiol=decitrilionesimo |
10-13 |
iol |
cl |
xiul=centitrilionesimo |
10-14 |
iul |
hl |
xiem=quadrilionesimo |
10-15 |
iem |
xm |
xiom=deciquadrilionesimo |
10-16 |
iom |
cm |
xium=centiquadrilionesimo |
10-17 |
ium |
hm |
xiep=quintilionesimo |
10-18 |
iep |
xp |
xiop=deciquintilionesimo |
10-19 |
iop |
cp |
xiup=centiquintilionesimo |
10-20 |
iup |
hp |
xier=sestilionesimo |
10-21 |
ier |
xr |
xior=decisestilionesimo |
10-22 |
ior |
cr |
xiur=centisestilionesimo |
10-23 |
iur |
hr |
xies=settilionesimo |
10-24 |
ies |
xs |
xios=decisettilionesimo |
10-25 |
ios |
cs |
xius=centisettilionesimo |
10-26 |
ius |
hs |
xiet=ottilionesimo |
10-27 |
iet |
xt |
xiot=deciottilionesimo |
10-28 |
iot |
ct |
xiut=centiottilionesimo |
10-29 |
iut |
ht |
I prefissi dei multipli della terza colonna vengono preposti alle Unità Fondamentali di Misura, mentre i suffissi dei sottomultipli della sesta colonna vengono aggiunti alle stesse, appunto per ottenere i multipli e i sottomultipli delle Unità di Misura.
36) Sistema Metrico Decimale1) Misure di Lunghezza
I Multipli ed i Sottomultipli di nev (metro) si ottengono mediante i suffissi e i prefissi ottenuti con i nomi delle Potenze del 10 sia positive che negative.
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
nev |
n 1 |
n |
|
xoinev |
n 101 |
xoin |
Xcn |
xuinev |
n 102 |
xuin |
Xhn |
beinev |
n 103 |
bein |
Bn |
boinev |
n 104 |
boin |
Bcn |
buinev |
n 105 |
buin |
Bhn |
feinev |
n 106 |
fein |
Fn |
foinev |
n 107 |
foin |
Fcn |
fuinev |
n 108 |
fuin |
Fhn |
keinev |
n 109 |
kein |
Kn |
koinev |
n 1010 |
koin |
Kcn |
kuinev |
n 1011 |
kuin |
Khn |
leinev |
n 1012 |
lein |
Ln |
loinev |
n 1013 |
loin |
Lcn |
luinev |
n 1014 |
luin |
Lhn |
meinev |
n 1015 |
mein |
Mn |
moinev |
n 1016 |
moin |
Mcn |
muinev |
n 1017 |
muin |
Mhn |
peinev |
n 1018 |
pein |
Pn |
poinev |
n 1019 |
poin |
Pcn |
puinev |
n 1020 |
puin |
Phn |
reinev |
n 1021 |
rein |
Rn |
roinev |
n 1022 |
roin |
Rcn |
ruinev |
n 1023 |
ruin |
Rhn |
seinev |
n 1024 |
sein |
Sn |
soinev |
n 1025 |
soin |
Scn |
suinev |
n 1026 |
suin |
Shn |
teinev |
n 1027 |
tein |
Tn |
toinev |
n 1028 |
toin |
Tcn |
tuinev |
n 1029 |
tuin |
Thn |
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
neviox |
n 10-1 |
niox |
cxn |
neviux |
n 10-2 |
niux |
hxn |
nevieb |
n 10-3 |
nieb |
xbn |
neviob |
n 10-4 |
niob |
cbn |
neviub |
n 10-5 |
niub |
hbn |
nevief |
n 10-6 |
nief |
xfn |
neviof |
n 10-7 |
niof |
cfn |
neviuf |
n 10-8 |
niuf |
hfn |
neviek |
n 10-9 |
niek |
xkn |
neviok |
n 10-10 |
niok |
ckn |
neviuk |
n 10-11 |
niuk |
hkn |
neviel |
n 10-12 |
niel |
xln |
neviol |
n 10-13 |
niol |
cln |
neviul |
n 10-14 |
niul |
hln |
neviem |
n 10-15 |
niem |
xmn |
neviom |
n 10-16 |
niom |
cmn |
nevium |
n 10-17 |
nium |
hmn |
neviep |
n 10-18 |
niep |
xpn |
neviop |
n 10-19 |
niop |
cpn |
neviup |
n 10-20 |
niup |
hpn |
nevier |
n 10-21 |
nier |
xrn |
nevior |
n 10-22 |
nior |
crn |
neviur |
n 10-23 |
niur |
hrn |
nevies |
n 10-24 |
nies |
xsn |
nevios |
n 10-25 |
nios |
csn |
nevius |
n 10-26 |
nius |
hsn |
neviet |
n 10-27 |
niet |
xtn |
neviot |
n 10-28 |
niot |
ctn |
neviut |
m 10-29 |
niut |
htn |
N.B. Aggiungendo alle Misure di Lunghezza la vocale o oppure la vocale u, si ottengono le rispettive misure di superficie e di volume:
n=metro / no=metro quadrato / nu=metro cubo; voin=decametro / voino=decametro
quadrato / voinu=decametro cubo; niuv=centimetro / niuvo=centimetro quadrato / niuvu=centimetro
cubo.
2) Misure Agrarie di Superficie
Le Misure Agrarie di Superficie presentano un numero indicante i loro m2. Esse sono le seguenti:
Vavab=centiara; vavob=ara; vabuv=ettaro-a.
3) Misure di Massa
I Multipli e i Sottomultipli di zom (kilogrammo) si ottengono mediante le consonanti numeriche, che vengono adoperate come potenze di 10 sia positive che negative.
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
zom |
z 1 |
z |
|
xoizom |
z 101 |
xoiz |
Xcz |
xuizom |
z 102 |
xuiz |
Xhz |
beizom |
z 103 |
beiz |
Bxz |
boizom |
z 104 |
boiz |
Bcz |
buizom |
z 105 |
buiz |
Bhz |
feizom |
z 106 |
feiz |
Fxz |
foizom |
z 107 |
foiz |
Fcz |
fuizom |
z 108 |
fuiz |
Fhz |
keizom |
z 109 |
keiz |
Kxz |
koizom |
z 1010 |
koiz |
Kcz |
kuizom |
z 1011 |
kuiz |
Khz |
leizom |
z 1012 |
leiz |
Lxz |
loizom |
z 1013 |
loiz |
Lcz |
luizom |
z 1014 |
luiz |
Lhz |
meizom |
z 1015 |
meiz |
Mxz |
moizom |
z 1016 |
moiz |
Mcz |
muizom |
z 1017 |
muiz |
Mhz |
peizom |
z 1018 |
peiz |
Pxz |
poizom |
z 1019 |
poiz |
Pcz |
puizom |
z 1020 |
puiz |
Phz |
reizom |
z 1021 |
reiz |
Rxz |
roizom |
z 1022 |
roiz |
Rcz |
ruizom |
z 1023 |
ruiz |
Rhz |
seizom |
z 1024 |
seiz |
Sxz |
soizom |
z 1025 |
soiz |
Scz |
suizom |
z 1026 |
suiz |
Shz |
teizom |
z 1027 |
teiz |
Tz |
toizom |
z 1028 |
toiz |
Tcz |
tuizom |
z 1029 |
tuiz |
Thz |
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
zomiox |
z 10-1 |
ziox |
cxz |
zomiux |
z 10-2 |
ziux |
hxz |
zomieb |
z 10-3 |
zieb |
xbz |
zomiob |
z 10-4 |
ziob |
cbz |
zomiub |
z 10-5 |
ziub |
hbz |
zomief |
z 10-6 |
zief |
xfz |
zomiof |
z 10-7 |
ziof |
cfz |
zomiuf |
z 10-8 |
ziuf |
hfz |
zomiek |
z 10-9 |
ziek |
xkz |
zomiok |
z 10-10 |
ziok |
ckz |
zomiuk |
z 10-11 |
ziuk |
hkz |
zomiel |
z 10-12 |
ziel |
xlz |
zomiol |
z 10-13 |
ziol |
clz |
zomiul |
z 10-14 |
ziul |
hlz |
zomiem |
z 10-15 |
ziem |
xmz |
zomiom |
z 10-16 |
ziom |
cmz |
zomium |
z 10-17 |
zium |
hmz |
zomiep |
z 10-18 |
ziep |
xpz |
zomiop |
z 10-19 |
ziop |
cpz |
zomiup |
z 10-20 |
ziup |
hpz |
zomier |
z 10-21 |
zier |
xrz |
zomior |
z 10-22 |
zior |
crz |
zomiur |
z 10-23 |
ziur |
hrz |
zomies |
z 10-24 |
zies |
xsz |
zomios |
z 10-25 |
zios |
csz |
zomius |
z 10-26 |
zius |
hsz |
zomiet |
z 10-27 |
ziet |
xtz |
zomiot |
z 10-28 |
ziot |
ctz |
zomiut |
z 10-29 |
ziut |
htz |
3) Misure di Capacità
I Multipli e i Sottomultipli di dun (metro cubo) si ottengono mediante le consonanti numeriche, che vengono adoperate come potenze di 10 sia positive che negative.
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
dun |
d 1 |
d |
|
xoidun |
d 101 |
xoid |
Xcd |
xuidun |
d 102 |
xuid |
Xhd |
beidun |
d 103 |
beid |
Bxd |
boidun |
d 104 |
boid |
Bcd |
buidun |
d 105 |
buid |
Bhd |
feidun |
d 106 |
feid |
Fxd |
foidun |
d 107 |
foid |
Fcd |
fuidun |
d 108 |
fuid |
Fhd |
keidun |
d 109 |
keid |
Kxd |
koidun |
d 1010 |
koid |
Kcd |
kuidun |
d 1011 |
kuid |
Khd |
leidun |
d 1012 |
leid |
Lxd |
loidun |
d 1013 |
loid |
Lcd |
luidun |
d 1014 |
luid |
Lhd |
meidun |
d 1015 |
meid |
Mxd |
moidun |
d 1016 |
moid |
Mcd |
muidun |
d 1017 |
muid |
Mhd |
peidun |
d 1018 |
peid |
Pxd |
poidun |
d 1019 |
poid |
Pcd |
puidun |
d 1020 |
puid |
Phd |
reidun |
d 1021 |
reid |
Rxd |
roidun |
d 1022 |
roid |
Rcd |
ruidun |
d 1023 |
ruid |
Rhd |
seidun |
d 1024 |
seid |
Sxd |
soidun |
d 1025 |
soid |
Scd |
suidun |
d 1026 |
suid |
Shd |
teidun |
d 1027 |
teid |
Txd |
toidun |
d 1028 |
toid |
Tcd |
tuidun |
d 1029 |
tuid |
Thd |
Misura |
Potenza |
Abbreviazione |
Simbolo |
duniox |
d 10-1 |
diox |
cxd |
duniux |
d 10-2 |
diux |
hxd |
dunieb |
d 10-3 |
dieb |
xbd |
duniob |
d 10-4 |
diob |
cbd |
duniub |
d 10-5 |
diub |
hbd |
dunief |
d 10-6 |
dief |
xfd |
duniof |
d 10-7 |
diof |
cfd |
duniuf |
d 10-8 |
diuf |
hfd |
duniek |
d 10-9 |
diek |
xkd |
duniok |
d 10-10 |
diok |
ckd |
duniuk |
d 10-11 |
diuk |
hkd |
duniel |
d 10-12 |
diel |
xld |
duniol |
d 10-13 |
diol |
cld |
duniul |
d 10-14 |
diul |
hld |
duniem |
d 10-15 |
diem |
xmd |
duniom |
d 10-16 |
diom |
cmd |
dunium |
d 10-17 |
dium |
hmd |
duniep |
d 10-18 |
diep |
xpd |
duniop |
d 10-19 |
diop |
cpd |
duniup |
d 10-20 |
diup |
hpd |
dunier |
d 10-21 |
dier |
xrd |
dunior |
d 10-22 |
dior |
crd |
duniur |
d 10-23 |
diur |
hrd |
dunies |
d 10-24 |
dies |
xsd |
dunios |
d 10-25 |
dios |
csd |
dunius |
d 10-26 |
dius |
hsd |
duniet |
d 10-27 |
diet |
xtd |
duniot |
d 10-28 |
diot |
ctd |
duniut |
d 10-29 |
diut |
htd |
36) TABELLA DELLE POTENZE DEL 10 FINO ALL'ESPONENTE 1000
Biviviv=100 /
bivivib=101 /
bivivif=102 /
bivivik=103 /
bivivil=104 /
bivivim=105 /
bivivip=106 /
bivivir=107 /
bivivis=108 /
bivivit=109 /
bivibiv=1010
bivibib=1011 /
bivibif=1012 /
bivibik=1013 /
bivibil=1014 /
bivibim=1015 /
bivibip=1016 /
bivibir=1017 /
bivibis=1018 /
bivibit=1019 /
bivifiv=1020
bivifib=1021 /
bivifif=1022 /
bivifik=1023 /
bivifil=1024 /
bivifim=1025 /
bivifip=1026 /
bivifir=1027 /
bivifis=1028 /
bivifit=1028 /
bivikiv=1030
bivikib=1031 /
bivikif=1032 /
bivikik=1033 /
bivikil=1034 /
bivikim=1035 /
bivikip=1036 /
bivikir=1037 /
bivikis=1038 /
bivikit=1039 /
biviliv=1040
bivilib=1041 /
bivilif=1042 /
bivilik=1043 /
bivilil=1044 /
bivilim=1045 /
bivilip=1046 /
bivilir=1047 /
bivilis=1048 /
bivilit=1049 /
bivimiv=1050
bivimib=1051 /
bivimif=1052 /
bivimik=1053 /
bivimil=1054 /
bivimim=1055 /
bivimip=1056 /
bivimir=1057 /
bivimis=1058 /
bivimit=1059 /
bivipiv=1060
bivipib=1061 /
bivipif=1062 /
bivipik=1063 /
bivipil=1064 /
bivipim=1065 /
bivipip=1066 /
bivipir=1067 /
bivipis=1068 /
bivipit=1069 /
biviriv=1070
bivirib=1071 /
bivirif=1072 /
bivirik=1073 /
biviril=1074 /
bivirim=1075 /
bivirip=1076 /
bivirir=1077 /
biviris=1078 /
bivirit=1079 /
bivisiv=1080
bivisib=1081 /
bivisif=1082 /
bivisik=1083 /
bivisil=1084 /
bivisim=1085 /
bivisip=1086 /
bivisir=1087 /
bivisis=1088 /
bivisit=1089 /
bivitiv=1090
bivitib=1091 /
bivitif=1092 /
bivitik=1093 /
bivitil=1094 /
bivitim=1095 /
bivitip=1096 /
bivitir=1097 /
bivitis=1098 /
bivitit=1099 /
bibiviv=10100
bibivib=10101 /
bibivif=10102 /
bibivik=10103 /
bibivil=10104 /
bibivim=10105 /
bibivip=10106 /
bibivir=10107 /
bibivis=10108 /
bibivit=10109 /
bibibiv=10110
bibibib=10111 /
bibibif=10112 /
bibibik=10113 /
bibibil=10114 /
bibibim=10115 /
bibibip=10116 /
bibibir=10117 /
bibibis=10118 /
bibibit=10119 /
bibifiv=10120
bibifib=10121 /
bibifif=10122 /
bibifik=10123 /
bibifil=10124 /
bibifim=10125 /
bibifip=10126 /
bibifir=10127 /
bibifis=10128 /
bibifit=10128 /
bibikiv=10130
bibikib=10131 /
bibikif=10132 /
bibikik=10133 /
bibikil=10134 /
bibikim=10135 /
bibikip=10136 /
bibikir=10137 /
bibikis=10138 /
bibikit=10139 /
bibiliv=10140
bibilib=10141 /
bibilif=10142 /
bibilik=10143 /
bibilil=10144 /
bibilim=10145 /
bibilip=10146 /
bibilir=10147 /
bibilis=10148 /
bibilit=10149 /
bibimiv=10150
bibimib=10151 /
bibimif=10152 /
bibimik=10153 /
bibimil=10154 /
bibimim=10155 /
bibimip=10156 /
bibimir=10157 /
bibimis=10158 /
bibimit=10159 /
bibipiv=10160
bibipib=10161 /
bibipif=10162 /
bibipik=10163 /
bibipil=10164 /
bibipim=10165 /
bibipip=10166 /
bibipir=10167 /
bibipis=10168 /
bibipit=10169 /
bibiriv=10170
bibirib=10171 /
bibirif=10172 /
bibirik=10173 /
bibiril=10174 /
bibirim=10175 /
bibirip=10176 /
bibirir=10177 /
bibiris=10178 /
bibirit=10179 /
bibisiv=10180
bibisib=10181 /
bibisif=10182 /
bibisik=10183 /
bibisil=10184 /
bibisim=10185 /
bibisip=10186 /
bibisir=10187 /
bibasis=10188 /
bibasit=10189 /
bibativ=10190
bibatib=10191 /
bibatif=10192 /
bibatik=10193 /
bibatil=10194 /
bibatim=10195 /
bibatip=10196 /
bibatir=10197 /
bibatis=10198 /
bibitit=10199 /
bifiviv=10200
bifivib=10201 /
bifivif=10202 /
bifivik=10203 /
bifivil=10204 /
bifivim=10205 /
bifivip=10206 /
bifivir=10207 /
bifivis=10208 /
bifivit=10209 /
bifiviv=10210
bifibib=10211 /
bifibif=10212 /
bifibik=10213 /
bifibil=10214 /
bifibim=10215 /
bifibip=10216 /
bifibir=10217 /
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bifibit=10219 /
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